1. Utilize a transformação no Exercício 2 para calcular a integral
\int_{0}^{2 / 3} \int_{y}^{2-2 y}(x+2 y) e^{(y-x)} d x d y
escrevendo-a primeiro como uma integral sobre uma região G no plano u v.

Passo 1

O enunciado pede que a gente calcule
\int_{0}^{2/3}\int_{y}^{\,2-2y}(x+2y)e^{(y-x)}\,dx\,dy
usando a transformação do Exercício 2. Observamos que o integrando sugere as novas variáveis
u = y - x, \quad v = x + 2y.
Vamos então (1) achar a inversa (x,y) em função de (u,v), (2) calcular o jacobiano, (3) determinar a região G em (u,v) e (4) reescrever a integral.

Passo 2

Resolvendo
\begin{cases} u = y - x,\\\ v = x + 2y, \end{cases}
somamos u + v = (y - x) + (x + 2y) = 3y, logo
y = \frac{u+v}{3}.
Em seguida x = y - u, isto é,
x = \frac{u+v}{3} - u = \frac{v - 2u}{3}.
Portanto
x = \frac{v-2u}{3}, \quad y = \frac{u+v}{3}.

Passo 3

O jacobiano é
J = \det \begin{pmatrix} \frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial x}{\partial v}\\[6pt] \frac{\partial y}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial v} \end{pmatrix} = \det \begin{pmatrix} -\tfrac{2}{3} & \tfrac{1}{3}\\[4pt] \tfrac{1}{3} & \tfrac{1}{3} \end{pmatrix} = -\tfrac{1}{3},
logo \bigl|\!J\bigr| = \tfrac{1}{3}.]

Passo 4

Precisamos mapear a região
0 \le y \le \tfrac23, \quad y \le x \le 2-2y
para condições em (u,v).
  1. Da desigualdade x\ge y vem y-x \le0, isto é \;u\le0.
  2. De x\le2-2y segue u = y - x \ge y - (2-2y) = 3y-2. Mas como 0\le y\le2/3, temos 3y-2\le0. Combinando 3y-2\le u\le0 e como y=(u+v)/3\ge0 e x=(v-2u)/3\ge y\ge0, descobre-se que
0 \le v = x+2y \le 2, \quad -v \le u \le 0.
Assim a região G em (u,v) é
G = \{(u,v)\mid 0 \le v \le 2,\;-v \le u \le 0\}.

Passo 5

No novo sistema o integrando fica
x+2y = v, \quad e^{\,y-x} = e^{\,u},
e o diferencial dx\,dy = \bigl|\!J\bigr|\,du\,dv = \tfrac{1}{3}\,du\,dv. Logo a integral vira
\int_{0}^{2/3}\!\!\int_{y}^{2-2y}(x+2y)e^{(y-x)}\,dx\,dy = \frac{1}{3}\int_{v=0}^{2}\!\!\int_{u=-v}^{0}v\,e^{u}\,du\,dv.

Resposta

\frac{1}{3}\int_{0}^{2}\int_{-v}^{0}v\,e^{u}\,du\,dv,
onde G=\{(u,v)\mid0\le v\le2,\,-v\le u\le0\}.

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