- Utilize a transformação
para calcular a soma integral
Passo 1
O enunciado pede para calcular a soma de duas integrais duplas sobre regiões em
, usando a transformação
O conteúdo é mudança de variáveis em integrais duplas: vamos achar o jacobiano, reescrever o integrando e descrever a região correspondente em
.
Passo 2
Calculamos o jacobiano da transformação
.
As derivadas são
As derivadas são
portanto
O integrando original é
. Em
temos
e multiplicando pelo jacobiano em módulo, o novo integrando é
Passo 3
Cada parte da integral cobre pontos com
em dois intervalos:
e
. Observa-se que, para ambas,
varia de 1 a 2 e
varia de 1 a 2. De fato, a união das duas regiões em
corresponde ao retângulo
Passo 4
Assim, a soma das integrais em
vira uma única integral em
sobre esse retângulo:
Passo 5
Primeiro integramos em
:
Então