Utilize a transformada de Laplace para determinar a solução do seguinte problema de valor inícial.
l y^prime prime-4 y^prime+4 y=f y(0)=0, y^prime(0)=-1
onde f é a função
f(t)=ll e^2 t & se 0 <= t<2 -e^2 t & se t >= 2

Passo 1

O problema é uma EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes e termo-força descontínuo. Vamos usar a transformada de Laplace para resolver
– Conteúdo: transformada de Laplace de derivadas, condição inicial e teorema do deslocamento de Heaviside.

Passo 2

Representamos a função forçante em termos da função de Heaviside. Como
f(t)=e^2t,&0<= t<2,-e^2t,&t>=2,
podemos escrever
f(t)=e^2t-2e^2tu(t-2)
Assim,
F(s)= Lf(t)=1s-2-2,e^-2ss-2

Passo 3

Aplicamos a transformada de Laplace na EDO
y''-4y'+4y=f(t), y(0)=0,;y'(0)=-1
Usando
Ly''=s^2Y(s)-s y(0)-y'(0)=s^2Y(s)+1,
Ly'=sY(s)-y(0)=sY(s),
obtemos
(s^2-4s+4)Y(s)+1=F(s)

Passo 4

Isolamos Y(s):
Y(s)=F(s)-1(s-2)^2
Substituindo F(s):
F(s)-1=1s-2-1-2e^-2ss-2=3-ss-2-2e^-2ss-2,
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Y(s)=3-s(s-2)^3-2e^-2s(s-2)^3

Passo 5

Decompondo a primeira fração:
3-s(s-2)^3=-1(s-2)^2+1(s-2)^3,
então
Y(s)=-1(s-2)^2+1(s-2)^3-2e^-2s(s-2)^3

Passo 6

Aplicamos a transformada inversa term a term:
L^-11/(s-2)^2=t e^2t,
L^-11/(s-2)^3=t^22e^2t,
para o termo deslocado usamos o teorema do retardo:
L^-1e^-2s/(s-2)^3=u(t-2)(t-2)^22e^2(t-2)
Assim,
y(t)=-t e^2t+t^22e^2t-2,u(t-2)(t-2)^22e^2(t-2)

Passo 7

Simplificando o fator 2 no último termo, temos a solução final. Para visualizar em regime não deslocado e deslocado:
  • Para 0<= t<2:
y(t)=e^2tl(t^22-tr),
- Para t>=2:
y(t)=e^2tl(t^22-tr)-(t-2)^2e^2(t-2)

Resposta

y(t)=-t,e^2t+t^22,e^2t-u(t-2),(t-2)^2,e^2(t-2)

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