Utilize a transformada de Laplace para determinar a solução do seguinte problema de valor inícial.
onde
é a função
Passo 1
O problema é uma EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes e termo-força descontínuo. Vamos usar a transformada de Laplace para resolver
– Conteúdo: transformada de Laplace de derivadas, condição inicial e teorema do deslocamento de Heaviside.
– Conteúdo: transformada de Laplace de derivadas, condição inicial e teorema do deslocamento de Heaviside.
Passo 2
Representamos a função forçante em termos da função de Heaviside. Como
podemos escrever
Assim,
Passo 3
Aplicamos a transformada de Laplace na EDO
Usando
obtemos
Passo 4
Isolamos
:
Substituindo
logo
Passo 5
Decompondo a primeira fração:
então
Passo 6
Aplicamos a transformada inversa term a term:
para o termo deslocado usamos o teorema do retardo:
Assim,
Passo 7
Simplificando o fator 2 no último termo, temos a solução final. Para visualizar em regime não deslocado e deslocado:
- Para
:
- Para