Calcule os limites laterais e analise continuidade (nível: médio a difícil)
lim x 0^+(1x-1x^3)

Passo 1

O enunciado pede para calcular os limites laterais de
f(x)=1x-1x^3
quando xto0^+ e xto0^-, e então analisar a continuidade de f em x=0. O conteúdo envolve manipular frações para identificar comportamento de tipo “constante sobre zero” e usar o critério de continuidade (existência de limite finito e coincidência com o valor da função).

Passo 2

Reescrevemos f(x) como uma única fração:
f(x)=1x-1x^3 =x^2-1x^3
Para xto0^+, o numerador x^2-1to-1 (constante não nula) e o denominador x^3to0^+. Logo,
limxto0^+f(x) =limxto0^+x^2-1x^3 =-10^+ =-infty

Passo 3

Para xto0^-, o numerador continua tendendo a -1, mas agora x^3to0^-. Assim,
limxto0^-f(x) =limxto0^-x^2-1x^3 =-10^- =+infty

Passo 4

Como os limites laterais não são finitos ( -infty e +infty) e são diferentes entre si, não existe limite finito em x=0. Além disso, f não está definida em 0, logo há uma descontinuidade essencial (assíntota vertical) em x=0.

Resposta

limxto0^+l(1x-1x^3r)=-infty, limxto0^-l(1x-1x^3r)=+infty,
e f é descontínua em x=0 (há assíntota vertical).

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