\text{(i)}\\ \text{o lado esquerdo contém derivadas até a terceira ordem;}\qquad \text{(ii)}\\ \text{o termo do lado direito é } \operatorname{sec} x.
A pergunta é: encontrar a solução geral y(x) desta EDO, usando variação de parâmetros como solicitado.
Passo 2
Primeiro observo uma simplificação: os termos -y^{\prime\prime}+y^{\prime\prime} cancelam, portanto a equação fica
y^{\prime\prime\prime}-y=\operatorname{sec} x.
Vou trabalhar com esta forma simplificada. Neste tipo de EDO linear com coeficientes constantes é conveniente escrever o operador diferencial em função de D=\dfrac{d}{dx}. Temos
(D^3-1)y=\operatorname{sec} x.
Note que o polinômio r^3-1 fatoriza como
r^3-1=(r-1)(r^2+r+1).
Logo o operador fatoriza:
(D^3-1)=(D-1)(D^2+D+1).
Isto é útil porque permite reduzir a resolução a etapas mais simples: primeiro resolver um problema de ordem 1, depois um de ordem 2.
Passo 3
Faço a redução de ordem introduzindo a função auxiliar
z=(D^2+D+1)y = y''+y'+y.
Aplicando (D-1) em z obtemos a equação de primeira ordem
(D-1)z = z'-z = \operatorname{sec} x.
Agora vou resolver essa EDO de primeira ordem para z(x). Esta é uma equação linear de primeira ordem na forma padrão
z' + P(x) z = Q(x)
com P(x)=-1 e Q(x)=\operatorname{sec} x. A técnica é o fator integrante. O fator integrante é
\mu(x)=e^{\int P(x)\,dx}=e^{\int -1\,dx}=e^{-x}.
Multiplicando a equação por \mu obtemos
(e^{-x} z)' = e^{-x}\operatorname{sec} x.
Integrando ambos os lados:
e^{-x} z = \int e^{-x}\operatorname{sec} x\,dx + C_1,
Observação didática: a integral \displaystyle\int e^{-x}\operatorname{sec} x\,dx não tem uma forma elementar simples que eu possa compactar em funções usuais mais simples; vou chamá-la de I(x) para manipular a solução. Como C_1 e^{x} corresponde a solução da homogênea da etapa seguinte e será absorvida na solução geral final, para construir uma particular eu posso escolher a parte sem a constante. Então tomo
I(x)=\int e^{-x}\operatorname{sec} x\,dx
e uma solução particular para z que vou usar adiante é
z_p(x)=e^{x}I(x).
Passo 4
Agora resta resolver a equação de segunda ordem não-homogênea
(D^2+D+1)y=z(x).
Primeiro obtenho a solução geral da homogênea associada
Agora aplico variação de parâmetros para obter uma solução particular y_p\) da segunda ordem com \(z_p(x)\) no lado direito. A formulação de variação de parâmetros para segunda ordem pede procurar
\[y_p(x)=v_1(x)y_2(x)+v_2(x)y_3(x),
Estas integrais são do tipo “integral de uma primitiva vezes uma função” (ou seja, integrais iteradas). Não há, em geral, uma expressão mais simples em termos de funções elementares sem especificar uma primitiva particular para I(x). Entretanto, essa forma é a expressão explícita de variação de parâmetros e mostra que a solução particular de segunda ordem pode ser obtida por quadraturas (integrais).
Passo 8
A solução geral y(x) da EDO original é soma da solução homogênea de terceira ordem (que corresponde à solução homogênea do operador total (D^3-1)) e de uma solução particular obtida acima. A solução homogênea completa do problema original vem das raízes de r^3-1=0. Elas são r=1 e r=-\tfrac{1}{2}\pm i\omega com \omega=\tfrac{\sqrt{3}}{2}. Assim a solução homogênea é
Uma solução particular y_p pode ser construída combinando a solução particular y_p da segunda ordem (obtida em Passo 7) com a possibilidade de termos acrescentado constantes na etapa para z (essas constantes são absorvidas em y_h). Portanto a solução geral é
y(x)=y_h(x)+y_p(x),
onde y_p(x) pode ser escrita explicitamente pela fórmula de variação de parâmetros que obtivemos:
Aqui C_1,C_2,C_3 são constantes arbitrárias e as integrais internas \displaystyle\int e^{-x}\operatorname{sec} x\,dx e externas representam as quadraturas explícitas fornecidas pelo método de variação de parâmetros (constantes de integração internas são absorvidas nos C_i).