( 2,5 Pontos) Determine a série de Maclaurin da funçāo
usando a definição
Passo 1
O enunciado pede: determinar a série de Maclaurin de
usando a definição
Informações dadas e o que precisamos obter:
Passo 2
Vamos calcular as primeiras derivadas e observar o padrão. Lembre: ao derivar uma função composta como
aplicamos a regra da cadeia; isto é, derivada de
é
. Assim:
Cada derivada multiplica por
(porque
para
) e efetua uma rotação no tipo de função:
, repetindo a cada
derivações.
Passo 3
A partir do padrão acima, podemos escrever uma fórmula geral para a
-ésima derivada. Observando que cada derivada introduz um fator
e que a operação é equivalente a avançar o argumento de
por
a cada derivação, temos uma forma compacta conveniente:
Verificação rápida: para
dá
, que confere com
.
Passo 4
Agora avaliamos em
:
Precisamos conhecer os valores de
conforme
modulo
:
Isso mostra que todas as derivadas de ordem ímpar avaliada em
são zero, e só as ordens pares
dão termos não nulos. Para
temos:
Passo 5
Substituímos na definição da série de Maclaurin. Como os termos impares são zero, escrevemos a soma apenas sobre
:
Passo 6
Podemos simplificar
e obter a forma usualmente apresentada:
Observação intuitiva: isso equivale à série de Maclaurin de
,
, com
.