( 2,5 Pontos) Determine a série de Maclaurin da funçāo
f(x)=\cos (3 x)
usando a definição
f(x)=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(0)}{n!} x^{n}

Passo 1

O enunciado pede: determinar a série de Maclaurin de f(x)=\cos(3x) usando a definição
f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^{n}.
Informações dadas e o que precisamos obter:
\text{Função: }f(x)=\cos(3x).çã
\text{Objetivo: calcular }f^{(n)}(0)\text{ para todo }n\text{ e montar a expansão }\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^{n}.ã

Passo 2

Vamos calcular as primeiras derivadas e observar o padrão. Lembre: ao derivar uma função composta como \cos(3x) aplicamos a regra da cadeia; isto é, derivada de \cos(u) é -\sin(u)\cdot u'. Assim:
f(x)=\cos(3x)
f'(x)=-3\sin(3x)
f''(x)=-9\cos(3x)
f^{(3)}(x)=27\sin(3x)
f^{(4)}(x)=81\cos(3x).
Cada derivada multiplica por 3 (porque u'=3 para u=3x) e efetua uma rotação no tipo de função: \cos\to -\sin\to -\cos\to \sin\to \cos, repetindo a cada 4 derivações.

Passo 3

A partir do padrão acima, podemos escrever uma fórmula geral para a n-ésima derivada. Observando que cada derivada introduz um fator 3 e que a operação é equivalente a avançar o argumento de \cos por \tfrac{\pi}{2} a cada derivação, temos uma forma compacta conveniente:
f^{(n)}(x)=3^{n}\cos\!\bigl(3x + n\frac{\pi}{2}\bigr).
Verificação rápida: para n=1 3\cos(3x+\tfrac{\pi}{2})=3(-\sin(3x))=-3\sin(3x), que confere com f'(x).

Passo 4

Agora avaliamos em x=0:
f^{(n)}(0)=3^{n}\cos\!\bigl(n\frac{\pi}{2}\bigr).
Precisamos conhecer os valores de \cos\!\bigl(n\frac{\pi}{2}\bigr) conforme n modulo 4:
\begin{aligned} n\equiv 0\pmod{4} &\Rightarrow \cos\!\bigl(n\frac{\pi}{2}\bigr)=1,\\\ n\equiv 1\pmod{4} &\Rightarrow \cos\!\bigl(n\frac{\pi}{2}\bigr)=0,\\\ n\equiv 2\pmod{4} &\Rightarrow \cos\!\bigl(n\frac{\pi}{2}\bigr)=-1,\\\ n\equiv 3\pmod{4} &\Rightarrow \cos\!\bigl(n\frac{\pi}{2}\bigr)=0. \end{aligned}
Isso mostra que todas as derivadas de ordem ímpar avaliada em 0 são zero, e só as ordens pares n=2k dão termos não nulos. Para n=2k temos:
f^{(2k)}(0)=3^{2k}\cos\!\bigl(k\pi\bigr)=3^{2k}(-1)^{k}.

Passo 5

Substituímos na definição da série de Maclaurin. Como os termos impares são zero, escrevemos a soma apenas sobre n=2k:
\begin{aligned} \cos(3x) &=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^{n} =\sum_{k=0}^{\infty}\frac{f^{(2k)}(0)}{(2k)!}x^{2k}\\[4pt] &=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{3^{2k}(-1)^{k}}{(2k)!}x^{2k}. \end{aligned}]

Passo 6

Podemos simplificar 3^{2k}=(3^{2})^{k}=9^{k} e obter a forma usualmente apresentada:
\cos(3x)=\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^{k}\frac{9^{k}x^{2k}}{(2k)!}.
Observação intuitiva: isso equivale à série de Maclaurin de \cos t, \displaystyle \cos t=\sum_{k=0}^\infty (-1)^k\frac{t^{2k}}{(2k)!}, com t=3x.

Resposta

\cos(3x)=\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^{k}\frac{3^{2k}x^{2k}}{(2k)!}=\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^{k}\frac{9^{k}x^{2k}}{(2k)!}.

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