Duas placas condutoras paralelas têm, cada uma, 2 m^2 de área, estando separadas de 1,25 mm no vácuo. Os terminais de uma bateria de 100 V são a ela conectados e, depois de algum tempo, são então desconectados. (a) Determine V0, E, D, rhoS, Q, WE e C. (b) Uma folha de material dielétrico, cuja forma e área são as mesmas das placas tendo 1 mm de espessura, é cuidadosamente introduzida entre as placas. Se epsilonR=5 para o dielétrico, determine Q, rhoS, WE Ce V0, bem como E e D no material dielétrico.

Passo 1

Beleza, o exercício fala de duas placas paralelas de área , separadas por no vácuo, ligadas a uma bateria de . Depois a bateria é desconectada e a gente precisa achar, nessa situação:
(a) o potencial entre as placas, o campo , o deslocamento , a densidade de carga na superfície , a carga , a energia armazenada e a capacitância .
Depois (b) inserimos um dielétrico de mesma área e forma, espessura ( ), constante , sobrando de vácuo ( ). A bateria continua desconectada, então a carga não muda, mas a capacitância muda. Aí queremos , , , , , e também e dentro do dielétrico.
Para resolver isso vamos usar:
  1. Capacitância de placa paralela: .
  2. Carga: .
  3. Densidade de carga: .
  4. Campo elétrico uniforme: .
  5. Deslocamento: (ou no vácuo).
  6. Energia no capacitor: .
  7. Com dielétrico e vácuo em série, trata como dois capacitores:

Passo 2

(a) Primeiro a capacitância no vácuo:
C ;=;epsilon0,Ad ;=;8,854times10^-12, F/m;times2, m^21,25times10^-3, m ;approx;1,417times10^-8, F

Passo 3

Como a bateria ficou conectada antes de desconectar, a carga armazenada é
Q = C,V = 1,417times10^-8, F;times100, V approx1,417times10^-6, C
E a densidade de carga na face das placas:
rhoS = QA = 1,417times10^-6, C2, m^2 approx7,085times10^-7, C/m^2

Passo 4

O campo elétrico na região do vácuo é
E = Vd = 100, V1,25times10^-3, m = 8,0times10^4,V/m
E o deslocamento é
D = epsilon0,E = 8,854times10^-12, F/m;times8,0times10^4,V/m approx7,083times10^-7, C/m^2,
coincidindo com , como esperado.

Passo 5

A energia armazenada é
WE = 12,C,V^2 = tfrac12,(1,417times10^-8, F),(100, V)^2 approx7,085times10^-5, J
E o potencial entre as placas, já desconectada a bateria, é ainda .

Passo 6

(b) Agora inserimos o dielétrico de espessura C1 = epsilon0,epsilonR,Ad1 = 8,854times10^-12times5times21,0times10^-3 approx8,854times10^-8, F, e sobra C2 = epsilon0,Ad2 = 8,854times10^-12times20,25times10^-3 approx7,083times10^-8, F, de vácuo.
Crm eq = l(tfrac1C1 + tfrac1C2r)^-1 approx3,935times10^-8, F

Passo 7

Como a bateria está desconectada, Q = 1,417times10^-6, C, rhoS = QA = 7,085times10^-7, C/m^2 não muda:

Passo 8

O deslocamento também continua o mesmo E1 = Depsilon0,epsilonR = 7,085times10^-78,854times10^-12times5 approx1,6007times10^4,V/m, V1 = E1,d1 approx16,01, V .
No dielétrico:
E2 = Depsilon0 = 7,085times10^-78,854times10^-12 =8,0times10^4,V/m, V2 = E2,d2 = 20, V
No vácuo restante:
V0 = V1 + V2 approx36,01, V
Então o novo potencial total é

Passo 9

A nova energia armazenada:
WE = 12,Crm eq,V0^2 = tfrac12,(3,935times10^-8, F),(36,01, V)^2 approx2,554times10^-5, J

Resposta

(a) Sem dielétrico:
V0=100, V, E=8,0times10^4,V/m, D=7,083times10^-7, C/m^2, rhoS=7,085times10^-7, C/m^2,
Q=1,417times10^-6, C, WE=7,085times10^-5, J, C=1,417times10^-8, F
(b) Com dielétrico ( Q=1,417times10^-6, C, rhoS=7,085times10^-7, C/m^2, Crm eq=3,935times10^-8, F, , V0=36,01, V, Erm diel=1,6007times10^4,V/m, Erm vácuo=8,0times10^4,V/m, D=7,085times10^-7, C/m^2, , WE=2,554times10^-5, J ):
á

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