(V/F) Se A é obtida multiplicando uma linha de B por 5 , então \operatorname{det}(A)=5 \operatorname{det}(B).

Passo 1

O enunciado dá a seguinte informação e pede uma verificação:
  • Informação dada: A é obtida multiplicando uma única linha de B por 5.
  • Pergunta: a afirmação \det(A)=5\det(B) é verdadeira ou falsa?

Passo 2

Vamos lembrar (e aprender) uma propriedade-chave do determinante que serve diretamente aqui: o determinante é uma função multilinear nas linhas (ou colunas) da matriz. Isso significa, com palavras simples, que se eu fixar todas as linhas exceto uma, o determinante é uma função linear daquela linha variável. Explico o que isso quer dizer:
  • Se numa matriz M eu substituir a linha i por uma soma de duas linhas L+L', então
\det(\text{matriz com linha }i=L+L')=\det(\text{matriz com linha }i=L)+\det(\text{matriz com linha }i=L').
  • Se eu multiplicar a linha i por um escalar \lambda, então o determinante também é multiplicado por \lambda:
\det(\text{matriz com linha }i=\lambda L)=\lambda\det(\text{matriz com linha }i=L).
Essa segunda relação é justamente a propriedade que vamos usar.

Passo 3

Aplicando a propriedade acima ao nosso caso: A foi obtida de B multiplicando uma linha — digamos a linha i — por 5. Pelo princípio da linearidade na linha i, isso implica diretamente
\det(A)=5\det(B).
Ou seja, multiplicar apenas uma linha por 5 multiplica o determinante por 5.

Passo 4

Dou também uma justificativa alternativa, útil para a prova: usar a matriz elementar correspondente. Existe uma matriz elementar E que resulta de aplicar às linhas da identidade a operação "multiplicar a linha i por 5". Essa matriz E tem determinante \det(E)=5. Como A=E\,B, pelas propriedades do determinante (produto de matrizes),
\det(A)=\det(E)\det(B)=5\det(B).

Passo 5

Um exemplo concreto e rápido para fixar: para 2\times2,
B=\begin{pmatrix}a & b\\[4pt] c & d\end{pmatrix}, \quad A=\begin{pmatrix}5a & 5b\\[4pt] c & d\end{pmatrix}.
Calculando os determinantes,
\det(B)=ad-bc, \qquad \det(A)=(5a)d-(5b)c=5(ad-bc)=5\det(B).
Isso ilustra o que a propriedade afirma em uma situação simples.]

Passo 6

Dica de prova/exame e cuidado: não confundir com multiplicar toda a matriz por 5 (ou seja, multiplicar todas as linhas). Se todas as n linhas de uma matriz n\times n forem multiplicadas por 5, então o determinante é multiplicado por 5^n. Outra operação elementar tem efeitos diferentes: trocar duas linhas muda o sinal do determinante; somar um múltiplo de uma linha a outra não altera o determinante.

Resposta

V

Exercícios relacionados