(V/F) Se
é obtida multiplicando uma linha de
por 5 , então
.
Passo 1
O enunciado dá a seguinte informação e pede uma verificação:
- Informação dada:
é obtida multiplicando uma única linha de por . - Pergunta: a afirmação
é verdadeira ou falsa?
Passo 2
Vamos lembrar (e aprender) uma propriedade-chave do determinante que serve diretamente aqui: o determinante é uma função multilinear nas linhas (ou colunas) da matriz. Isso significa, com palavras simples, que se eu fixar todas as linhas exceto uma, o determinante é uma função linear daquela linha variável. Explico o que isso quer dizer:
- Se numa matriz
eu substituir a linha por uma soma de duas linhas , então
- Se eu multiplicar a linha
por um escalar , então o determinante também é multiplicado por :
Essa segunda relação é justamente a propriedade que vamos usar.
Passo 3
Aplicando a propriedade acima ao nosso caso:
foi obtida de
multiplicando uma linha — digamos a linha
— por
. Pelo princípio da linearidade na linha
, isso implica diretamente
Ou seja, multiplicar apenas uma linha por
multiplica o determinante por
.
Passo 4
Dou também uma justificativa alternativa, útil para a prova: usar a matriz elementar correspondente. Existe uma matriz elementar
que resulta de aplicar às linhas da identidade a operação "multiplicar a linha
por
". Essa matriz
tem determinante
. Como
, pelas propriedades do determinante (produto de matrizes),
Passo 5
Um exemplo concreto e rápido para fixar: para
,
Calculando os determinantes,
Isso ilustra o que a propriedade afirma em uma situação simples.]
Passo 6
Dica de prova/exame e cuidado: não confundir com multiplicar toda a matriz por
(ou seja, multiplicar todas as linhas). Se todas as
linhas de uma matriz
forem multiplicadas por
, então o determinante é multiplicado por
. Outra operação elementar tem efeitos diferentes: trocar duas linhas muda o sinal do determinante; somar um múltiplo de uma linha a outra não altera o determinante.
Resposta
V