Seja A=\left[\begin{array}{ll}1 & \frac{1}{3} \\\ c & d\end{array}\right]. Encontre números c e d tais que A^{2}=-I.

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A=\begin{pmatrix}1 & \tfrac{1}{3}\\[4pt] c & d\end{pmatrix}
e pede: encontrar números c e d tais que
A^{2}=-I,
onde I é a matriz identidade 2\times2. Dados relevantes: os elementos conhecidos da matriz são 1 e \tfrac{1}{3} na primeira linha; os elementos desconhecidos são c e d na segunda linha. O objetivo é determinar esses dois números.]

Passo 2

Lembrete rápido sobre multiplicação de matrizes 2\times2. Se
X=\begin{pmatrix}x_{11}&x_{12}\\[4pt] x_{21}&x_{22}\end{pmatrix},\qquad Y=\begin{pmatrix}y_{11}&y_{12}\\[4pt] y_{21}&y_{22}\end{pmatrix},
então o produto XY tem entradas dadas por
(XY)_{11}=x_{11}y_{11}+x_{12}y_{21},
(XY)_{12}=x_{11}y_{12}+x_{12}y_{22},
(XY)_{21}=x_{21}y_{11}+x_{22}y_{21},
(XY)_{22}=x_{21}y_{12}+x_{22}y_{22}.
Isso significa que cada entrada do produto é soma de produtos de elementos da linha de X pela coluna de Y. Vamos aplicar isso com X=Y=A para calcular A^2.]

Passo 3

Calculemos A^{2}=A\cdot A aplicando as fórmulas acima. Usando as entradas de A:
A^{2}=\begin{pmatrix} 1\cdot 1 + \tfrac{1}{3}\cdot c & 1\cdot \tfrac{1}{3} + \tfrac{1}{3}\cdot d\\[6pt] c\cdot 1 + d\cdot c & c\cdot \tfrac{1}{3} + d\cdot d \end{pmatrix}.
Simplificando cada entrada:
A^{2}=\begin{pmatrix} 1+\tfrac{c}{3} & \tfrac{1+d}{3}\\[6pt] c(1+d) & \tfrac{c}{3}+d^{2} \end{pmatrix}.]

Passo 4

Escrevendo a condição A^{2}=-I. A matriz -I é
-I=\begin{pmatrix}-1 & 0\\[4pt] 0 & -1\end{pmatrix}.
Portanto devemos ter igualdade entrada a entrada entre A^{2} e -I.]

Passo 5

Igualando as entradas correspondentes obtemos o sistema de equações:
1+\tfrac{c}{3}=-1,
\tfrac{1+d}{3}=0,
c(1+d)=0,
\tfrac{c}{3}+d^{2}=-1.
Basta resolver esse sistema para c e d.

Passo 6

Resolva a primeira equação:
1+\tfrac{c}{3}=-1
Subtraindo 1 dos dois lados:
\tfrac{c}{3}=-2.
Multiplicando por 3:
c=-6.

Passo 7

Resolva a segunda equação:
\tfrac{1+d}{3}=0
Multiplicando por 3:
1+d=0,
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d=-1.

Passo 8

Verificação das demais equações para garantir consistência.
Terceira equação:
c(1+d) = (-6)\bigl(1+(-1)\bigr)=(-6)\cdot 0 = 0,
que é igual ao lado direito exigido (0). OK.
Quarta equação:
\tfrac{c}{3}+d^{2} = \tfrac{-6}{3}+(-1)^{2} = -2 + 1 = -1,
que coincide com o lado direito exigido -1. OK.
Como todas as equações são satisfeitas, \,c=-6 e d=-1 é uma solução consistente.

Passo 9

Comentário final: as duas primeiras equações já determinaram unicamente c e d; as outras duas funcionaram como verificação e deram consistência. Portanto a solução é única.

Resposta

c=-6
d=-1

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