Seja A=\left[\begin{array}{ll}1 & \frac{1}{3} \\\ c & d\end{array}\right]. Encontre números c e d tais que A^{2}=-I.
Passo 1
O enunciado dá a matriz
A=\begin{pmatrix}1 & \tfrac{1}{3}\\[4pt] c & d\end{pmatrix}
e pede: encontrar números c e d tais que
A^{2}=-I,
onde I é a matriz identidade 2\times2. Dados relevantes: os elementos conhecidos da matriz são 1 e \tfrac{1}{3} na primeira linha; os elementos desconhecidos são c e d na segunda linha. O objetivo é determinar esses dois números.]
Passo 2
Lembrete rápido sobre multiplicação de matrizes 2\times2. Se
Isso significa que cada entrada do produto é soma de produtos de elementos da linha de X pela coluna de Y. Vamos aplicar isso com X=Y=A para calcular A^2.]
Passo 3
Calculemos A^{2}=A\cdot A aplicando as fórmulas acima. Usando as entradas de A:
A^{2}=\begin{pmatrix} 1\cdot 1 + \tfrac{1}{3}\cdot c & 1\cdot \tfrac{1}{3} + \tfrac{1}{3}\cdot d\\[6pt] c\cdot 1 + d\cdot c & c\cdot \tfrac{1}{3} + d\cdot d \end{pmatrix}.
Como todas as equações são satisfeitas, \,c=-6 e d=-1 é uma solução consistente.
Passo 9
Comentário final: as duas primeiras equações já determinaram unicamente c e d; as outras duas funcionaram como verificação e deram consistência. Portanto a solução é única.