Encontre os valores de
para os quais o sistema de equações
tem:
(a) nenhuma solução. Resposta:
.
(b) exatamente uma solução. Resposta:
.
(c) infinitas soluções. Resposta:
.
(d) Quando há exatamente uma solução, ela é
e
.
(a) nenhuma solução. Resposta:
(b) exatamente uma solução. Resposta:
(c) infinitas soluções. Resposta:
(d) Quando há exatamente uma solução, ela é
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede. O sistema dado é
As perguntas são:
(a) Para quais valores de o sistema não tem solução?
(b) Para quais valores de o sistema tem exatamente uma solução?
(c) Para quais valores de o sistema tem infinitas soluções?
(d) Quando existe exatamente uma solução, qual é e qual é
?
(a) Para quais valores de
(b) Para quais valores de
(c) Para quais valores de
(d) Quando existe exatamente uma solução, qual é
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- Há duas equações lineares com incógnitas
e . - O parâmetro é
(um número real). - As constantes do termo independente são
e .]
Passo 2
Ideia que vou usar (explicando bem devagarinho): para um sistema linear 2×2 escrito como
o determinante da matriz dos coeficientes
, controla se existe solução única ou não:
- Se
então há exatamente uma solução (as duas retas se intersectam em um ponto). - Se
então as duas retas são paralelas ou coincidentes; pode haver nenhuma solução (paralelas distintas) ou infinitas soluções (mesma reta).
Aqui a matriz dos coeficientes é
Vou calcular o determinante e estudar os casos.]
Passo 3
Calcular o determinante de
:
Análise imediata:
quando
, ou seja quando
. Portanto as possibilidades críticas são
e
. Vou separar os casos
e
.
Passo 4
Caso
(ou seja
). Pelo que escrevi no passo anterior, quando o determinante é não nulo o sistema tem exatamente uma solução. Agora vou achar essa solução passo a passo, sem pular etapas.
Parto da primeira equação e isolо
:
Substituo em
:
Faço a distribuição:
Agrupo os termos em
:
Reescrevo
como
:
Como neste caso
temos
, posso dividir:
Agora fatoro o denominador
e, como
, posso cancelar o fator
:
Volto para
:
Portanto, para
obtém-se
Observação intuitiva: o sistema é simétrico em
e
, por isso a solução tem
.
Passo 5
Conclusão do caso
:
- O sistema tem exatamente uma solução (resposta para a parte (b)).
- A solução é
e (resposta para a parte (d)).
Passo 6
Agora trato o caso
As duas equações são idênticas, ou seja descrevem a mesma reta. Isso significa que qualquer par
é solução: há infinitas soluções (uma reta de soluções). Portanto para
o sistema tem infinitas soluções (resposta para (c)).]
Passo 7
Agora o caso
Note que a segunda equação é
obteríamos
, diferente de
. Isso significa que as duas retas são paralelas (mesma inclinação) mas com termos independentes diferentes — portanto não se intersectam: não existe solução que satisfaça ambas. Conclusão: para
o sistema não tem solução (resposta para (a)).]
Passo 8
Resumo final dos três tipos de situações (já demonstradas acima):
-
→ sem solução. -
→ infinitas soluções. -
→ exatamente uma solução, dada por .
Resposta
(a)
(b)
(c)
(d) ,
(b)
(c)
(d)