Encontre os valores de k para os quais o sistema de equações \left\{\begin{array}{l}x+k y=1 \\\ k x+y=1\end{array}\right. tem:
(a) nenhuma solução. Resposta: \_\_\_\_ .
(b) exatamente uma solução. Resposta: \_\_\_\_ .
(c) infinitas soluções. Resposta: \_\_\_\_ .
(d) Quando há exatamente uma solução, ela é x= \_\_\_\_ e y= \_\_\_\_ .

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede. O sistema dado é
\begin{cases} x + k y = 1\\[4pt] k x + y = 1 \end{cases}
As perguntas são:
(a) Para quais valores de k o sistema não tem solução?
(b) Para quais valores de k o sistema tem exatamente uma solução?
(c) Para quais valores de k o sistema tem infinitas soluções?
(d) Quando existe exatamente uma solução, qual é x e qual é y?
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Há duas equações lineares com incógnitas x e y.
  • O parâmetro é k (um número real).
  • As constantes do termo independente são 1 e 1.]

Passo 2

Ideia que vou usar (explicando bem devagarinho): para um sistema linear 2×2 escrito como
\begin{pmatrix} a & b \\\ c & d \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} e \\\ f \end{pmatrix},
o determinante da matriz dos coeficientes \,ad-bc, controla se existe solução única ou não:
  • Se ad-bc \neq 0 então há exatamente uma solução (as duas retas se intersectam em um ponto).
  • Se ad-bc = 0 então as duas retas são paralelas ou coincidentes; pode haver nenhuma solução (paralelas distintas) ou infinitas soluções (mesma reta).
    Aqui a matriz dos coeficientes é
A=\begin{pmatrix}1 & k\\[4pt] k & 1\end{pmatrix}.
Vou calcular o determinante e estudar os casos.]

Passo 3

Calcular o determinante de A:
\det(A)=1\cdot 1 - k\cdot k = 1 - k^2.
Análise imediata: \det(A)=0 quando 1-k^2=0, ou seja quando k^2=1. Portanto as possibilidades críticas são k=1 e k=-1. Vou separar os casos k\neq\pm 1 e k=\pm 1.

Passo 4

Caso k\neq\pm 1 (ou seja \det(A)\neq 0). Pelo que escrevi no passo anterior, quando o determinante é não nulo o sistema tem exatamente uma solução. Agora vou achar essa solução passo a passo, sem pular etapas.
Parto da primeira equação e isolо x:
x = 1 - k y.
Substituo em k x + y = 1:
k(1 - k y) + y = 1.
Faço a distribuição:
k - k^2 y + y = 1.
Agrupo os termos em y:
(-k^2 + 1)y + k = 1.
Reescrevo -k^2+1 como 1-k^2:
(1-k^2)y = 1 - k.
Como neste caso k\neq\pm 1 temos 1-k^2\neq 0, posso dividir:
y = \dfrac{1-k}{1-k^2}.
Agora fatoro o denominador 1-k^2=(1-k)(1+k) e, como k\neq 1, posso cancelar o fator 1-k:
y = \dfrac{1}{1+k}.
Volto para x = 1 - k y:
x = 1 - k\cdot \dfrac{1}{1+k} = \dfrac{1+k}{1+k} - \dfrac{k}{1+k} = \dfrac{1}{1+k}.
Portanto, para k\neq\pm 1 obtém-se
x = \dfrac{1}{1+k},\qquad y = \dfrac{1}{1+k}.
Observação intuitiva: o sistema é simétrico em x e y, por isso a solução tem x=y.

Passo 5

Conclusão do caso k\neq\pm 1:
  • O sistema tem exatamente uma solução (resposta para a parte (b)).
  • A solução é x=\dfrac{1}{1+k} e y=\dfrac{1}{1+k} (resposta para a parte (d)).

Passo 6

Agora trato o caso k=1\). Substituindo em cada equação: \[\begin{cases} x + 1\cdot y = 1\\[4pt] 1\cdot x + y = 1 \end{cases} \quad\text{que é}\quad \begin{cases} x+y=1\\[4pt] x+y=1 \end{cases}
As duas equações são idênticas, ou seja descrevem a mesma reta. Isso significa que qualquer par (x,y)\] que satisfaça \(x+y=1 é solução: há infinitas soluções (uma reta de soluções). Portanto para k=1 o sistema tem infinitas soluções (resposta para (c)).]

Passo 7

Agora o caso k=-1\). Substituindo: \[\begin{cases} x - y = 1\\[4pt] - x + y = 1 \end{cases}
Note que a segunda equação é -x+y=1\], que é exatamente o negativo da primeira equação no lado esquerdo, mas o termo independente não muda de sinal: se multiplicarmos a primeira por \(-1 obteríamos -x+y=-1, diferente de -x+y=1. Isso significa que as duas retas são paralelas (mesma inclinação) mas com termos independentes diferentes — portanto não se intersectam: não existe solução que satisfaça ambas. Conclusão: para k=-1 o sistema não tem solução (resposta para (a)).]

Passo 8

Resumo final dos três tipos de situações (já demonstradas acima):
  • k=-1 → sem solução.
  • k=1 → infinitas soluções.
  • k\neq\pm 1 → exatamente uma solução, dada por x=y=\dfrac{1}{1+k}.

Resposta

(a) k=-1
(b) k\neq\pm 1
(c) k=1
(d) x=\dfrac{1}{1+k}, y=\dfrac{1}{1+k}

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