(V/F) Processos isotérmicos sempre possuem \Delta \mathrm{U} diferente de zero. Justifique.

Passo 1

O enunciado pergunta se a afirmação abaixo é verdadeira (V) ou falsa (F):
“Processos isotérmicos sempre possuem \Delta U diferente de zero.”
Informações dadas / o que se pede:
  • Um processo isotérmico é um processo no qual a temperatura permanece constante ao longo do processo.
  • \Delta U representa a variação da energia interna do sistema.
  • A tarefa é decidir V ou F e justificar a resposta.

Passo 2

Lembrete da primeira lei da termodinâmica (fórmula e significado das variáveis):
\Delta U = Q - W,
onde:
  • \Delta U é a variação da energia interna do sistema;
  • Q é o calor trocado com o ambiente (positivo se o sistema recebe calor);
  • W é o trabalho realizado pelo sistema (positivo se o sistema realiza trabalho sobre o ambiente).
Explicação curta e didática: a primeira lei diz que a energia interna do sistema muda porque entrou calor nele e/ou porque ele fez trabalho sobre o ambiente. A energia interna é uma função de estado — depende do estado termodinâmico final e inicial (por exemplo, temperatura, volume, composição, …), não do caminho em si.

Passo 3

Caso muito comum e simples: gás ideal (por que aparece sempre em provas)
  • Para um gás ideal, a energia interna depende somente da temperatura. Em notação:
U = U(T).
  • Isso vem da ideia microscópica: num gás ideal as partículas não interagem (não há energia potencial entre elas), então a energia interna é só energia cinética média, que depende apenas de T.
Consequência imediata para processos isotérmicos com gás ideal:
  • Se o processo é isotérmico, então \Delta T=0.
  • Como U depende só de T, segue que \Delta U = 0.
Exemplo concreto (útil na prova): expansão isotérmica reversível de n mols de gás ideal entre volumes V_i e V_f. O trabalho realizado pelo gás é
W = n R T \ln\!\left(\frac{V_f}{V_i}\right).
Pela primeira lei, como \Delta U=0 (porque \Delta T=0), deve ocorrer Q=W. Ou seja, todo o calor recebido vira trabalho. Isso é exatamente o que acontece em uma isoterma ideal reversível — portanto \Delta U=0 nesse caso.

Passo 4

Agora vamos ver a forma geral (para qualquer substância) — isto é importante para não “errar por excesso de confiança”:
Existe uma identidade termodinâmica útil que liga dU a dT e dV:
dU = C_V\,dT + \Bigl[T\Bigl(\frac{\partial P}{\partial T}\Bigr)_V - P\Bigr]\,dV,
onde:
  • C_V é a capacidade calorífica a volume constante (por unidade ou por mol, conforme contexto) e satisfaz C_V = \bigl(\partial U/\partial T\bigr)_V;
  • \bigl(\partial P/\partial T\bigr)_V é a derivada parcial da pressão em relação à temperatura mantendo V fixo;
  • P é a pressão, T a temperatura, V o volume.
Breve explicação de onde vem isso (sem pular etapas): parte-se da relação fundamental dU = T\,dS - P\,dV. Usa-se a expressão para dS em termos de dT e dV,
dS = \frac{C_V}{T}\,dT + \Bigl(\frac{\partial P}{\partial T}\Bigr)_V dV,
e substitui em dU = T\,dS - P\,dV para obter a fórmula acima. Cada termo tem interpretação física clara: a primeira parcela é a variação de energia interna por variação de temperatura; a segunda parcela descreve como variações de volume, a temperaturas distintas, afetam U por causa das interações e do trabalho interno.

Passo 5

Aplicando essa fórmula ao caso isotérmico:
  • Para um processo isotérmico temos dT=0. Então a relação reduz-se a
dU = \Bigl[T\Bigl(\frac{\partial P}{\partial T}\Bigr)_V - P\Bigr]\,dV.
  • Isso mostra que, em geral, mesmo com dT=0, dU pode ser diferente de zero se o fator entre colchetes for diferente de zero.
Verificação para gás ideal:
  • Para gás ideal temos P = \dfrac{n R T}{V}, então
\Bigl(\frac{\partial P}{\partial T}\Bigr)_V = \frac{nR}{V}.
  • Substituindo,
T\Bigl(\frac{\partial P}{\partial T}\Bigr)_V - P = T\cdot\frac{nR}{V} - \frac{nRT}{V} = 0.
Logo dU=0 para gás ideal (confirmando o que dissemos no Passo 3).
Contraponto: exemplo de um gás não ideal (contraexemplo para a afirmativa “sempre”)
  • Considere o gás de van der Waals com equação de estado por mol
P = \frac{R T}{V_m - b} - \frac{a}{V_m^2},
onde V_m é o volume molar e a,b são constantes do gás que modelam interações intermoleculares.
  • Calcula-se
\Bigl(\frac{\partial P}{\partial T}\Bigr)_{V_m} = \frac{R}{V_m - b}.
  • Então o colchete fica
T\Bigl(\frac{\partial P}{\partial T}\Bigr)_{V_m} - P = \frac{R T}{V_m - b} - \Bigl(\frac{R T}{V_m - b} - \frac{a}{V_m^2}\Bigr) = \frac{a}{V_m^2}.
  • Portanto, para um processo isotérmico de um van der Waals (ou outro fluido real com termo de interação), temos
dU = \frac{a}{V_m^2}\,dV_m,
e integrando ao longo de uma mudança de volume pode-se obter \Delta U\neq 0. Assim existe um isoterma com variação de energia interna diferente de zero.

Passo 6

Interpretando tudo de maneira prática para a prova e para responder a pergunta:
  • Se a questão está no contexto de gás ideal (muito comum), a resposta prática é que em um processo isotérmico \Delta U=0.
  • Mas a afirmação dada diz “sempre possuem \Delta U diferente de zero” — a palavra “sempre” pede uma universalidade. A partir da análise geral e do exemplo do gás de van der Waals, vemos que um processo isotérmico pode ter \Delta U=0 (gás ideal) ou \Delta U\neq 0 (gás real com dependência de U em V). Logo a afirmação universal é falsa.

Resposta

Falso.

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