(v) A resposta natural de um circuito RLC paralelo pode ter uma componente exponencial.
Passo 1
Beleza, então a questão diz: “A resposta natural de um circuito RLC paralelo pode ter uma componente exponencial.”
Conteúdo: resposta natural de circuitos RLC (paralelo), equação diferencial e equação característica.
O que vamos precisar:
Conteúdo: resposta natural de circuitos RLC (paralelo), equação diferencial e equação característica.
O que vamos precisar:
- Montar a EDO (equação diferencial) do circuito paralelo.
- Extrair a equação característica.
- Ver os tipos de raízes e a forma da solução natural.
Passo 2
Primeiro, a gente monta a equação de corrente no nó do capacitor (isso é Kirchhoff de correntes):
i_C + i_R + i_L = 0.
Em função da tensão v(t):
– i_C = C·dv/dt
– i_R = v/R
– i_L = ∫v dt / L (mas a gente prefere uma EDO só com derivadas, então vamos derivar tudo).
i_C + i_R + i_L = 0.
Em função da tensão v(t):
– i_C = C·dv/dt
– i_R = v/R
– i_L = ∫v dt / L (mas a gente prefere uma EDO só com derivadas, então vamos derivar tudo).
Escrevendo antes de derivar:
C·dv/dt + v/R + i_L = 0.
Sabendo que i_L = (1/L) ∫ v(t) dt, derivamos a equação inteira para eliminar a integral.
C·dv/dt + v/R + i_L = 0.
Sabendo que i_L = (1/L) ∫ v(t) dt, derivamos a equação inteira para eliminar a integral.
Passo 3
Derivando ambos os lados:
C·d²v/dt² + (1/R)·dv/dt + (1/L)·v = 0.
Essa é a EDO de 2ª ordem para v(t).
C·d²v/dt² + (1/R)·dv/dt + (1/L)·v = 0.
Essa é a EDO de 2ª ordem para v(t).
Passo 4
Agora montamos a equação característica trocando d/dt por s:
C·s² + (1/R)·s + (1/L) = 0.
Ou seja:
C·s² + (1/R)·s + (1/L) = 0.
Ou seja:
As raízes
são dadas por
Passo 5
Dependendo do discriminante
, você tem:
– Sobreamortecido ( ): duas raízes reais diferentes → solução
.
– Criticamente amortecido ( ): raiz real dupla →
.
– Subamortecido ( ): raízes complexas →
.
– Sobreamortecido (
– Criticamente amortecido (
– Subamortecido (
Em todos os casos aparecem termos que são exponenciais (ou exponencial vezes polinômio, ou exponencial vez cosseno/seno).
Resposta
Verdadeiro. A resposta natural do RLC paralelo sempre envolve componentes exponenciais (seja puro
ou multiplicado por polinômio/cosseno).