Se V=rho^2 z sent, calcule a energia dentro da região definida por 1<rho<4,-2<z< 2,0<phi<pi / 3.

Passo 1

O enunciado dá uma densidade de energia em coordenadas cilíndricas
V(rho,phi,z)=rho^2z
e pede a energia total
E=integralregiãoV,dtau ã
na região definida por
1<rho<4,;-2<z<2,;0<phi<pi3
Para resolver, usamos que em coordenadas cilíndricas o elemento de volume é
dtau=rho,drho,dphi,dz

Passo 2

Escrevemos a integral tripla em ordem dz,drho,dphi:
E=integralphi=0^pi/3integralrho=1^4integralz=-2^2l(rho^2zr),rho,dz,drho,dphi =integral0^pi/3integral1^4integral-2^2rho^3,z,dz,drho,dphi

Passo 3

Note que a integral se separa em produto de três integrais:
E =l(integral1^4rho^3drhor) l(integral0^pi/3dphir) l(integral-2^2z,dzr)
Calculamos cada uma:
integral1^4rho^3drho=rho^44|1^4 =4^4-1^44=256-14=2554,
integral0^pi/3dphi=pi3,
integral-2^2z,dz=z^22|-2^2 =2^22-(-2)^22=2-2=0

Passo 4

Como integral-2^2z,dz=0, segue que
E=2554cdotpi3cdot 0 = 0

Resposta

A energia contida na região é 0.

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