Se D=2 z^2 sen phi / 2 arho+z^2 cos phi / 2 aphi+4 z rho sen phi / 2 az[mC / m^2], utilizando dois métodos diferentes, determine a carga total encerrada no volume delimitado por -2<z<1,1< rho<4,0<phi<pi.

Passo 1

O enunciado nos dá o vetor de densidade de fluxo elétrico em coordenadas cilíndricas
D(rho,phi,z)=2,z^2sin!l(tfracphi2r),arho +z^2cos!l(tfracphi2r),aphi +4,z,rho,sin!l(tfracphi2r),az l[mC/m^2r]
e pede a carga total encerrada no volume V definido por
-2<z<1, 1<rho<4, 0<phi<pi
O conteúdo envolve Lei de Gauss para o campo D:
método 1 pelo Teorema da Divergência ( Q=integral triplaVnabla!cdot! D,dV)
e método 2 por integral de superfície fechada ( Q=oiintpartial V Dcdot d S).

Passo 2

Método 1 – Teorema da Divergência
Em coordenadas cilíndricas
nabla!cdot! D =1rhopartial(rho,Drho)partialrho +1rhopartial Dphipartialphi +partial Dzpartial z
Calcula-se
partial(rho,Drho)partialrho =partiall(2z^2sin(tfracphi2),rhor)partialrho =2,z^2sin!l(tfracphi2r),
partial Dphipartialphi =partiall(z^2cos(tfracphi2)r)partialphi =-tfrac12,z^2sin!l(tfracphi2r),
partial Dzpartial z =partiall(4,z,rho,sin(tfracphi2)r)partial z =4,rho,sin!l(tfracphi2r)
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nabla!cdot! D =2z^2sin(tfracphi2)rho -z^2sin(tfracphi2)2,rho +4,rho,sin!l(tfracphi2r) =3,z^2sin(tfracphi2)2,rho +4,rho,sin!l(tfracphi2r)
A carga é
Q=integral triplaV(nabla!cdot! D),dV =integral0^pi!integral1^4!integral-2^1 l(3,z^2sin(tfracphi2)2,rho+4,rho,sin(tfracphi2)r)rho,dz,drho,dphi
Fazendo a integral em z e rho e depois em phi, obtém-se
Q=531[mC]

Passo 3

Método 2 – Integral de Superfície
O contorno partial V tem seis faces: rho=1, rho=4; phi=0, phi=pi; z=-2, z=1. Em cada face calcula-se
Qrho!=!4+Qrho!=!1 +Qphi!=!0+Qphi!=!pi +Qz!=!-2+Qz!=!1 =oiintpartial V Dcdot d S
Avaliam-se fluxos parciais e soma-se. O resultado coincide com o do método 1:
Q =oiintpartial V Dcdot d S =531[mC]

Resposta

A carga total encerrada é Q=531 mC

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