Para uma distribuição esférica de cargas dada por:
rhov= rho0(a^2-r^2), & r<a 0, & r>a
(a) Determine E e V para r >= a.
(b) Determine E e V para r <= a.
(c) Determine a carga total.
(d) Demostre que E é máximo quando r=0,145 a.

Passo 1

O enunciado dá uma densidade de carga esfericamente simétrica
rhov(r)= rho0l(a^2-r^2r),&r<a, 0,&r>a,
e pede (a) o campo E e o potencial V para r>= a, (b) para r<= a, (c) a carga total e (d) mostrar onde E atinge seu máximo.
Usaremos a Lei de Gauss para E esférico e V(r)=-integralinfty^rE(s),ds com V(infty)=0.

Passo 2

Para r>= a toda a carga está contida em r<a. Seja
Qrm tot=integral0^a4pi r^2,rho0(a^2-r^2),dr
(será calculado no passo 4).
Pela Lei de Gauss:
ointEcdot dA =E(r),4pi r^2 =Qrm totvarepsilon0 ;Longrightarrow; E(r)=14pivarepsilon0Qrm totr^2;hat r
O potencial, escolhendo V(infty)=0, é
V(r)=-integralinfty^rE(s),ds =14pivarepsilon0Qrm totr (r>= a)

Passo 3

Para r<= a, a carga interna até r é
Qrm enc(r) =integral0^r4pi s^2,rho0(a^2-s^2),ds =4pirho0l(tfraca^2r^33-tfracr^55r) =4pirho015(5a^2r^3-3r^5)
Então, pela Lei de Gauss,
E(r)=14pivarepsilon0Qrm enc(r)r^2 =rho015varepsilon0l(5a^2r-3r^3r),hat r,
e o potencial para r<= a obtém-se por
V(r)=V(a)-integrala^rE(s),ds,
onde V(a)=dfrac14pivarepsilon0dfracQrm tota.
Fazendo a integral, chega-se a
V(r)=rho060varepsilon0l(a^4+10a^2r^2-3r^4r)

Passo 4

Calcular Qrm tot é só tomar Qrm enc(a):
Qrm tot =4pirho015l(5a^2a^3-3a^5r) =4pirho0a^515(5-3) =8pi15,rho0a^5

Passo 5

Dentro de r<a, escrevemos
E(r)=rho015varepsilon0l(5a^2r-3r^3r)
Para achar o máximo, derivamos em relação a r e igualamos a zero:
dEdr =rho015varepsilon0l(5a^2-9r^2r)=0 Longrightarrow rmax=raiz59,a=raiz53,aapprox0,745,a

Resposta

(a) Para r>= a:
E(r)=14pivarepsilon0Qrm totr^2;hat r, V(r)=14pivarepsilon0Qrm totr,
com Qrm tot=tfrac8pi15rho0a^5.
(b) Para r<= a:
E(r)=rho015varepsilon0l(5a^2r-3r^3r),hat r, V(r)=rho060varepsilon0l(a^4+10a^2r^2-3r^4r)
(c) Qrm tot=dfrac8pi15,rho0a^5
(d) E(r) é máximo em
r=raiz53,aapprox0,745,a

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