v(t)=(3 \cos t) i+(3 \sin t) j+(t) k. a) Determinar r(t). b) Calcular a(t). c) Obter a aceleração normal em t=\pi / 2.

Passo 1

O enunciado fornece a velocidade vetorial
v(t)=(3\cos t)\,\mathbf{i}+(3\sin t)\,\mathbf{j}+(t)\,\mathbf{k}.
As perguntas são:
  1. Determinar r(t) (o vetor posição) — isto é, uma antiderivada de v(t).
  2. Calcular a(t) (a aceleração) — isto é, a derivada de v(t).
  3. Obter a aceleração normal em t=\pi/2 — ou seja, a componente da aceleração perpendicular à velocidade nesse instante.
Informações relevantes dadas: as três componentes de v(t) como funções de t. Não foi dada nenhuma condição inicial para r(t), então teremos constantes de integração ao integrar.

Passo 2

Para achar r(t) precisamos integrar cada componente de v(t) em relação a t. Vou explicar rapidamente a regra que uso: a primitiva de \cos t é \sin t, a primitiva de \sin t é -\cos t e a primitiva de t é \tfrac{1}{2}t^2. Também aparece uma constante de integração para cada componente, porque integrar não fixa a posição absoluta sem condição inicial.
Integramos componente a componente:
\int 3\cos t\,dt = 3\sin t + C_1,
\int 3\sin t\,dt = -3\cos t + C_2,
\int t\,dt = \tfrac{1}{2}t^2 + C_3.
Portanto a família de posições é
r(t) = \bigl(3\sin t + C_1\bigr)\,\mathbf{i} + \bigl(-3\cos t + C_2\bigr)\,\mathbf{j} + \bigl(\tfrac{1}{2}t^2 + C_3\bigr)\,\mathbf{k},
onde C_1,C_2,C_3 são constantes reais que dependem da condição inicial (se fornecida).

Passo 3

Agora vamos calcular a(t). A aceleração é a derivada da velocidade: a(t)=v'(t). Relembre as derivadas básicas: \frac{d}{dt}\cos t = -\sin t, \frac{d}{dt}\sin t = \cos t, e \frac{d}{dt}t = 1.
Aplicando componente a componente:
\frac{d}{dt}\bigl(3\cos t\bigr) = -3\sin t,
\frac{d}{dt}\bigl(3\sin t\bigr) = 3\cos t,
\frac{d}{dt}(t) = 1.
Assim
a(t) = \bigl(-3\sin t\bigr)\,\mathbf{i} + \bigl(3\cos t\bigr)\,\mathbf{j} + 1\,\mathbf{k}.

Passo 4

O que é a aceleração normal (denotada a_n)? A aceleração total pode ser decomposta em duas componentes: uma tangencial a_t (paralela à velocidade, relacionada à variação do módulo da velocidade) e uma normal a_n (perpendicular à velocidade, relacionada à curvatura da trajetória). Uma fórmula prática e muito usada para a_n é
a_n = \frac{\|v\times a\|}{\|v\|},
porque \|v\times a\| = \|v\|\,\|a_\perp\| e a_\perp é justamente a componente de a perpendicular a v. Vou usar essa fórmula porque é direta e exige só cálculo de produto vetorial e norma.

Passo 5

Calculemos v e a no instante t=\pi/2. Substituindo \cos(\pi/2)=0 e \sin(\pi/2)=1:
v\!\left(\tfrac{\pi}{2}\right)=\bigl(3\cos(\tfrac{\pi}{2})\bigr)\,\mathbf{i}+\bigl(3\sin(\tfrac{\pi}{2})\bigr)\,\mathbf{j}+\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr)\,\mathbf{k} = 0\,\mathbf{i}+3\,\mathbf{j}+\tfrac{\pi}{2}\,\mathbf{k}.
a\!\left(\tfrac{\pi}{2}\right)=\bigl(-3\sin(\tfrac{\pi}{2})\bigr)\,\mathbf{i}+\bigl(3\cos(\tfrac{\pi}{2})\bigr)\,\mathbf{j}+1\,\mathbf{k} = -3\,\mathbf{i}+0\,\mathbf{j}+1\,\mathbf{k}.
Então
v\!\left(\tfrac{\pi}{2}\right)=\langle 0,\,3,\,\tfrac{\pi}{2}\rangle,\qquad a\!\left(\tfrac{\pi}{2}\right)=\langle -3,\,0,\,1\rangle.

Passo 6

Vamos calcular o produto vetorial v\times a em t=\pi/2. Usando determinante:
v\times a = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\\\ 0 & 3 & \tfrac{\pi}{2} \\\\ -3 & 0 & 1 \end{vmatrix}.
Calculando as componentes:
componente \mathbf{i}: 3\cdot 1 - \tfrac{\pi}{2}\cdot 0 = 3.
componente \mathbf{j}: subtrai-se 0\cdot 1 - \tfrac{\pi}{2}\cdot(-3) = 0 + \tfrac{3\pi}{2}, então a componente \mathbf{j} é -\tfrac{3\pi}{2}.
componente \mathbf{k}: 0\cdot 0 - 3\cdot(-3) = 9.
Portanto
v\!\left(\tfrac{\pi}{2}\right)\times a\!\left(\tfrac{\pi}{2}\right) = \langle 3,\,-\tfrac{3\pi}{2},\,9\rangle.
A norma desse vetor é
\bigl\|v\times a\bigr\| = \sqrt{3^2 + \bigl(-\tfrac{3\pi}{2}\bigr)^2 + 9^2} = \sqrt{9 + \tfrac{9\pi^2}{4} + 81} = \sqrt{90 + \tfrac{9\pi^2}{4}}.
Fatorando 9 dentro da raiz:
\bigl\|v\times a\bigr\| = 3\sqrt{10 + \tfrac{\pi^2}{4}}.

Passo 7

Calculamos também \|v\| em t=\pi/2:
\|v(\tfrac{\pi}{2})\| = \sqrt{0^2 + 3^2 + \bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr)^2} = \sqrt{9 + \tfrac{\pi^2}{4}}.
Agora aplicamos a fórmula
a_n = \frac{\|v\times a\|}{\|v\|} = \frac{3\sqrt{10 + \tfrac{\pi^2}{4}}}{\sqrt{9 + \tfrac{\pi^2}{4}}}.
Se você quiser uma alternativa para conferir: podemos calcular a componente tangencial a_t como
a_t = \frac{v\cdot a}{\|v\|}.
Aqui v\cdot a = 0\cdot(-3)+3\cdot0+\tfrac{\pi}{2}\cdot 1 = \tfrac{\pi}{2}, então
a_t = \frac{\tfrac{\pi}{2}}{\sqrt{9 + \tfrac{\pi^2}{4}}}.
E daí a_n=\sqrt{\|a\|^2-a_t^2} com \|a\|^2= (-3)^2+0^2+1^2=10, o que leva à mesma expressão para a_n que já obtivemos — é uma boa checagem.

Resposta

r(t)=\bigl(3\sin t + C_1\bigr)\,\mathbf{i}+\bigl(-3\cos t + C_2\bigr)\,\mathbf{j}+\bigl(\tfrac{1}{2}t^2 + C_3\bigr)\,\mathbf{k}
a(t)=\bigl(-3\sin t\bigr)\,\mathbf{i}+\bigl(3\cos t\bigr)\,\mathbf{j}+1\,\mathbf{k}
a_n\!\left(\tfrac{\pi}{2}\right)=\dfrac{3\sqrt{10+\tfrac{\pi^2}{4}}}{\sqrt{9+\tfrac{\pi^2}{4}}}

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