Determinar r(t) (o vetor posição) — isto é, uma antiderivada de v(t).
Calcular a(t) (a aceleração) — isto é, a derivada de v(t).
Obter a aceleração normal em t=\pi/2 — ou seja, a componente da aceleração perpendicular à velocidade nesse instante.
Informações relevantes dadas: as três componentes de v(t) como funções de t. Não foi dada nenhuma condição inicial para r(t), então teremos constantes de integração ao integrar.
Passo 2
Para achar r(t) precisamos integrar cada componente de v(t) em relação a t. Vou explicar rapidamente a regra que uso: a primitiva de \cos t é \sin t, a primitiva de \sin t é -\cos t e a primitiva de t é \tfrac{1}{2}t^2. Também aparece uma constante de integração para cada componente, porque integrar não fixa a posição absoluta sem condição inicial.
Integramos componente a componente:
\int 3\cos t\,dt = 3\sin t + C_1,
\int 3\sin t\,dt = -3\cos t + C_2,
\int t\,dt = \tfrac{1}{2}t^2 + C_3.
Portanto a família de posições é
r(t) = \bigl(3\sin t + C_1\bigr)\,\mathbf{i} + \bigl(-3\cos t + C_2\bigr)\,\mathbf{j} + \bigl(\tfrac{1}{2}t^2 + C_3\bigr)\,\mathbf{k},
onde C_1,C_2,C_3 são constantes reais que dependem da condição inicial (se fornecida).
Passo 3
Agora vamos calcular a(t). A aceleração é a derivada da velocidade: a(t)=v'(t). Relembre as derivadas básicas: \frac{d}{dt}\cos t = -\sin t, \frac{d}{dt}\sin t = \cos t, e \frac{d}{dt}t = 1.
O que é a aceleração normal (denotada a_n)? A aceleração total pode ser decomposta em duas componentes: uma tangencial a_t (paralela à velocidade, relacionada à variação do módulo da velocidade) e uma normal a_n (perpendicular à velocidade, relacionada à curvatura da trajetória). Uma fórmula prática e muito usada para a_n é
a_n = \frac{\|v\times a\|}{\|v\|},
porque \|v\times a\| = \|v\|\,\|a_\perp\| e a_\perp é justamente a componente de a perpendicular a v. Vou usar essa fórmula porque é direta e exige só cálculo de produto vetorial e norma.
Passo 5
Calculemos v e a no instante t=\pi/2. Substituindo \cos(\pi/2)=0 e \sin(\pi/2)=1: