. a) Calcular
. b) Determinar a(t). c) Obter o raio de curvatura.
Passo 1
O enunciado dá a velocidade como vetor função do tempo:
As perguntas são:
- Calcular
(vetor posição), sabendo que . - Determinar
(aceleração), isto é . - Obter o raio de curvatura (isto é, o inverso da curvatura,
), para a curva descrita por .
Informações relevantes dadas:
- Componente
da velocidade é . - Componente
da velocidade é . - Não foi fornecida condição inicial para
, portanto a antiderivada terá constantes de integração.
Passo 2
Vamos achar
integrando cada componente de
. Lembrete rápido (mini-aula): a integral de
é
e a integral de
é
. Se temos uma constante multiplicando a função, ela sai da integral. Além disso, ao integrar um vetor componente a componente, surgem constantes de integração para cada componente.
Integramos:
onde
e
são constantes reais (uma para cada componente). Portanto a posição geral é
Observação prática: se você não tem condição inicial na prova, pode deixar as constantes
ou, se for pedir a forma da curva, muitas vezes escolhem
para a posição relativa ao centro; com
obtemos a parametrização simples
que descreve um círculo de raio
centrado na origem (vou mostrar isso depois).
Passo 3
Agora calculemos a aceleração
. Mini-aula de derivada: derivada de
é
; derivada de
é
. Aplicando componente a componente:
Ou, escrevendo de forma limpa,
Pequena verificação mental: essa aceleração aponta para o centro do círculo quando a velocidade é tangencial — faz sentido físico.
Passo 4
Para achar o raio de curvatura precisamos da fórmula da curvatura em curvas planas parametrizadas por
. Mini-aula sobre curvatura: para uma curva com componentes
, onde
e
são as componentes da velocidade e
as da aceleração, a curvatura
é dada por
Essa fórmula mede “o quanto a trajetória curva” — o numerador é relacionado ao determinante (área) formado por
e
, e o denominador normaliza pelo cubo da velocidade para dar uma quantidade independente da parametrização. O raio de curvatura é
.
Vamos identificar
a partir da velocidade e aceleração que já temos:
Passo 5
Calculemos o numerador
:
Substituindo,
Compute passo a passo:
logo
Tomando o valor absoluto:
Agora o denominador
:
Logo
Portanto a curvatura é
Passo 6
O raio de curvatura é o inverso da curvatura:
Interpretação rápida: a curvatura constante
e o raio
mostram que a trajetória é um círculo de raio
(como já intuíamos pela forma de
quando
). Isso significa que, independentemente de
, a “curvatura” não muda — movimento circular uniforme.
Resposta
Raio de curvatura: