\mathrm{v}(\mathrm{t})=(4 \sin \mathrm{t}) \mathrm{i}+(4 \cos \mathrm{t}) \mathrm{j}. a) Calcular \mathrm{r}(\mathrm{t}). b) Determinar a(t). c) Obter o raio de curvatura.

Passo 1

O enunciado dá a velocidade como vetor função do tempo:
\mathbf{v}(t)=(4\sin t)\mathbf{i}+(4\cos t)\mathbf{j}.
As perguntas são:
  1. Calcular \mathbf{r}(t) (vetor posição), sabendo que \mathbf{v}(t)=\mathbf{r}'(t).
  2. Determinar \mathbf{a}(t) (aceleração), isto é \mathbf{a}(t)=\mathbf{v}'(t)=\mathbf{r}''(t).
  3. Obter o raio de curvatura (isto é, o inverso da curvatura, \rho=1/\kappa), para a curva descrita por \mathbf{r}(t).
Informações relevantes dadas:
  • Componente x' da velocidade é 4\sin t.
  • Componente y' da velocidade é 4\cos t.
  • Não foi fornecida condição inicial para \mathbf{r}(t), portanto a antiderivada terá constantes de integração.

Passo 2

Vamos achar \mathbf{r}(t) integrando cada componente de \mathbf{v}(t). Lembrete rápido (mini-aula): a integral de \sin t é -\cos t e a integral de \cos t é \sin t. Se temos uma constante multiplicando a função, ela sai da integral. Além disso, ao integrar um vetor componente a componente, surgem constantes de integração para cada componente.
Integramos:
\int 4\sin t\,dt = 4\int \sin t\,dt = 4(-\cos t) = -4\cos t + C_1,
\int 4\cos t\,dt = 4\int \cos t\,dt = 4\sin t + C_2,
onde C_1 e C_2 são constantes reais (uma para cada componente). Portanto a posição geral é
\mathbf{r}(t)=\bigl(-4\cos t + C_1\bigr)\mathbf{i}+\bigl(4\sin t + C_2\bigr)\mathbf{j}.
Observação prática: se você não tem condição inicial na prova, pode deixar as constantes C_1,C_2 ou, se for pedir a forma da curva, muitas vezes escolhem C_1=C_2=0 para a posição relativa ao centro; com C_1=C_2=0 obtemos a parametrização simples
\mathbf{r}(t) = -4\cos t\,\mathbf{i}+4\sin t\,\mathbf{j},
que descreve um círculo de raio 4 centrado na origem (vou mostrar isso depois).

Passo 3

Agora calculemos a aceleração \mathbf{a}(t)=\mathbf{v}'(t). Mini-aula de derivada: derivada de \sin t é \cos t; derivada de \cos t é -\sin t. Aplicando componente a componente:
\mathbf{a}(t)=\frac{d}{dt}\bigl(4\sin t\bigr)\mathbf{i}+\frac{d}{dt}\bigl(4\cos t\bigr)\mathbf{j} = (4\cos t)\mathbf{i}+(-4\sin t)\mathbf{j}.
Ou, escrevendo de forma limpa,
\mathbf{a}(t)=4\cos t\,\mathbf{i}-4\sin t\,\mathbf{j}.
Pequena verificação mental: essa aceleração aponta para o centro do círculo quando a velocidade é tangencial — faz sentido físico.

Passo 4

Para achar o raio de curvatura precisamos da fórmula da curvatura em curvas planas parametrizadas por t. Mini-aula sobre curvatura: para uma curva com componentes x(t),y(t), onde x'(t) e y'(t) são as componentes da velocidade e x''(t),y''(t) as da aceleração, a curvatura \kappa é dada por
\kappa(t)=\frac{|x'(t)\,y''(t)-y'(t)\,x''(t)|}{\bigl(x'(t)^2+y'(t)^2\bigr)^{3/2}}.
Essa fórmula mede “o quanto a trajetória curva” — o numerador é relacionado ao determinante (área) formado por \mathbf{r}' e \mathbf{r}'', e o denominador normaliza pelo cubo da velocidade para dar uma quantidade independente da parametrização. O raio de curvatura é \rho(t)=1/\kappa(t).
Vamos identificar x'(t),y'(t),x''(t),y''(t) a partir da velocidade e aceleração que já temos:
x'(t)=4\sin t,\qquad y'(t)=4\cos t,
x''(t)=4\cos t,\qquad y''(t)=-4\sin t.

Passo 5

Calculemos o numerador N=|x'y''-y'x''|:
Substituindo,
x'(t)\,y''(t)-y'(t)\,x''(t)=(4\sin t)(-4\sin t)-(4\cos t)(4\cos t).
Compute passo a passo:
(4\sin t)(-4\sin t)=-16\sin^2 t,
(4\cos t)(4\cos t)=16\cos^2 t,
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x'y''-y'x''=-16\sin^2 t-16\cos^2 t=-16(\sin^2 t+\cos^2 t)=-16.
Tomando o valor absoluto:
N=|-16|=16.
Agora o denominador D=\bigl(x'^2+y'^2\bigr)^{3/2}:
x'^2+y'^2=(4\sin t)^2+(4\cos t)^2=16\sin^2 t+16\cos^2 t=16(\sin^2 t+\cos^2 t)=16.
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D=16^{3/2}=(\sqrt{16})^3=4^3=64.
Portanto a curvatura é
\kappa=\frac{N}{D}=\frac{16}{64}=\frac{1}{4}.

Passo 6

O raio de curvatura é o inverso da curvatura:
\rho=\frac{1}{\kappa}=4.
Interpretação rápida: a curvatura constante \kappa=1/4 e o raio \rho=4 mostram que a trajetória é um círculo de raio 4 (como já intuíamos pela forma de \mathbf{r}(t) quando C_1=C_2=0). Isso significa que, independentemente de t, a “curvatura” não muda — movimento circular uniforme.

Resposta

\mathbf{r}(t)=\bigl(-4\cos t + C_1\bigr)\mathbf{i}+\bigl(4\sin t + C_2\bigr)\mathbf{j} \
\mathbf{a}(t)=4\cos t\,\mathbf{i}-4\sin t\,\mathbf{j} \
Raio de curvatura: \rho=4

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