x=2 t, y=3 t^{2}. a) Determinar a equação da trajectória y(x). b) Calcular o raio de curvatura em \mathrm{t}=1. c) Determinar o módulo da aceleração normal.

Passo 1

O enunciado dá a curva paramétrica
x=2t,\qquad y=3t^{2},
e pede três coisas:
  1. a) Determinar a equação da trajetória y(x) (ou seja, eliminar o parâmetro t);
  2. b) Calcular o raio de curvatura em t=1;
  3. c) Determinar o módulo da aceleração normal em t=1.
As informações relevantes que temos são precisamente as expressões de x(t) e y(t). A resolução começa identificando como eliminar t e depois usar as fórmulas clássicas de curvatura/raio de curvatura e de aceleração normal para curvas paramétricas.

Passo 2

Eliminação do parâmetro para obter a trajetória y(x).
Da expressão x=2t isolamos t:
t=\frac{x}{2}.
Substituímos em y=3t^{2}:
y=3\left(\frac{x}{2}\right)^{2}.
Agora simplificamos essa expressão:
y=3\cdot\frac{x^{2}}{4}=\frac{3}{4}x^{2}.
Portanto a equação da trajetória é um parabola com equação y=\dfrac{3}{4}x^{2}.

Passo 3

Apresentação da fórmula de curvatura e raio de curvatura para curvas paramétricas (aula rápida e intuitiva).
Considere uma curva plana dada por x(t) e y(t). Denotamos por x' = \dfrac{dx}{dt}, x''=\dfrac{d^{2}x}{dt^{2}}, y'=\dfrac{dy}{dt}, y''=\dfrac{d^{2}y}{dt^{2}}. A curvatura \kappa(t) mede “quão curvada” é a curva num ponto e, para parametrização por um parâmetro qualquer t, a fórmula é
\kappa(t)=\frac{\left|x'(t)\,y''(t)-y'(t)\,x''(t)\right|}{\bigl(x'(t)^{2}+y'(t)^{2}\bigr)^{3/2}}.
O raio de curvatura \rho(t) é o recíproco da curvatura:
\rho(t)=\frac{1}{\kappa(t)}.
Intuição curta: x'y''-y'x'' é relacionado à taxa de variação da direção do vetor velocidade; o denominador normaliza pela velocidade para obter apenas a curvatura geométrica.

Passo 4

Calculamos as derivadas necessárias para a nossa curva x=2t,\;y=3t^{2}.
Derivadas primeiras:
x'(t)=\frac{dx}{dt}=2,\qquad y'(t)=\frac{dy}{dt}=6t.
Derivadas segundas:
x''(t)=\frac{d^{2}x}{dt^{2}}=0,\qquad y''(t)=\frac{d^{2}y}{dt^{2}}=6.

Passo 5

Substituímos na fórmula da curvatura \kappa(t).
Primeiro o numerador:
\left|x'y''-y'x''\right|=\left|2\cdot 6 - (6t)\cdot 0\right|=|12|=12.
Agora o denominador:
\bigl(x'^{2}+y'^{2}\bigr)^{3/2}=\bigl(2^{2}+(6t)^{2}\bigr)^{3/2}=\bigl(4+36t^{2}\bigr)^{3/2}.
Portanto
\kappa(t)=\frac{12}{\bigl(4+36t^{2}\bigr)^{3/2}}.

Passo 6

Cálculo do raio de curvatura \rho(t) em forma simbólica e em t=1.
Como \rho(t)=1/\kappa(t), temos
\rho(t)=\frac{\bigl(4+36t^{2}\bigr)^{3/2}}{12}.
Agora avaliamos em t=1:
\rho(1)=\frac{\bigl(4+36\cdot 1^{2}\bigr)^{3/2}}{12}=\frac{40^{3/2}}{12}.
Calculamos 40^{3/2}: 40^{3/2}=40\sqrt{40}=40\cdot 2\sqrt{10}=80\sqrt{10}. Então
\rho(1)=\frac{80\sqrt{10}}{12}.
Simplificando dividindo numerador e denominador por 4:
\rho(1)=\frac{20\sqrt{10}}{3}.

Passo 7

Cálculo da curvatura \kappa(1) (útil para conferir) a partir da expressão de \kappa(t).
Da expressão \kappa(t)=\dfrac{12}{(4+36t^{2})^{3/2}}, em t=1 obtemos
\kappa(1)=\frac{12}{40^{3/2}}=\frac{12}{80\sqrt{10}}=\frac{3}{20\sqrt{10}}.
Conferência: \rho(1)=1/\kappa(1)=\dfrac{1}{3/(20\sqrt{10})}=\dfrac{20\sqrt{10}}{3}, que bate com o resultado anterior.

Passo 8

Agora a aceleração normal (módulo) em curvas paramétricas: fórmula e interpretação.
Para uma partícula que segue a curva com velocidade escalar v(t)=\sqrt{x'^{2}+y'^{2}}, a aceleração vetorial tem componente normal (centrípeta) cujo módulo é
a_{n}(t)=\kappa(t)\,v(t)^{2}.
Outra forma equivalente é a_{n}(t)=\dfrac{v(t)^{2}}{\rho(t)}. Isso faz sentido: quanto maior a velocidade ou menor o raio de curvatura, maior a aceleração para “virar” na curva.

Passo 9

Calculamos v(t) e então a_{n}(1).
Velocidade escalar:
v(t)=\sqrt{x'^{2}+y'^{2}}=\sqrt{4+36t^{2}}.
Em t=1:
v(1)=\sqrt{40}=2\sqrt{10}.
Usamos a_{n}(1)=\kappa(1)\,v(1)^{2}. Já temos \kappa(1)=\dfrac{3}{20\sqrt{10}} e v(1)^{2}=40. Então
a_{n}(1)=40\cdot \frac{3}{20\sqrt{10}}=\frac{120}{20\sqrt{10}}=\frac{6}{\sqrt{10}}.
Racionalizando (se preferir um formato com raiz no numerador):
a_{n}(1)=\frac{6}{\sqrt{10}}=\frac{3\sqrt{10}}{5}.

Resposta

y=\dfrac{3}{4}x^{2}
\rho(1)=\dfrac{20\sqrt{10}}{3}
|a_{n}(1)|=\dfrac{3\sqrt{10}}{5}

Exercícios relacionados