x=2 t, y=3 t^{2}. a) Determinar a equação da trajectória y(x). b) Calcular o raio de curvatura em \mathrm{t}=1. c) Determinar o módulo da aceleração normal.
Passo 1
O enunciado dá a curva paramétrica
x=2t,\qquad y=3t^{2},
e pede três coisas:
a) Determinar a equação da trajetória y(x) (ou seja, eliminar o parâmetro t);
b) Calcular o raio de curvatura em t=1;
c) Determinar o módulo da aceleração normal em t=1.
As informações relevantes que temos são precisamente as expressões de x(t) e y(t). A resolução começa identificando como eliminar t e depois usar as fórmulas clássicas de curvatura/raio de curvatura e de aceleração normal para curvas paramétricas.
Passo 2
Eliminação do parâmetro para obter a trajetória y(x).
Da expressão x=2t isolamos t:
t=\frac{x}{2}.
Substituímos em y=3t^{2}:
y=3\left(\frac{x}{2}\right)^{2}.
Agora simplificamos essa expressão:
y=3\cdot\frac{x^{2}}{4}=\frac{3}{4}x^{2}.
Portanto a equação da trajetória é um parabola com equação y=\dfrac{3}{4}x^{2}.
Passo 3
Apresentação da fórmula de curvatura e raio de curvatura para curvas paramétricas (aula rápida e intuitiva).
Considere uma curva plana dada por x(t) e y(t). Denotamos por x' = \dfrac{dx}{dt}, x''=\dfrac{d^{2}x}{dt^{2}}, y'=\dfrac{dy}{dt}, y''=\dfrac{d^{2}y}{dt^{2}}. A curvatura \kappa(t) mede “quão curvada” é a curva num ponto e, para parametrização por um parâmetro qualquer t, a fórmula é
O raio de curvatura \rho(t) é o recíproco da curvatura:
\rho(t)=\frac{1}{\kappa(t)}.
Intuição curta: x'y''-y'x'' é relacionado à taxa de variação da direção do vetor velocidade; o denominador normaliza pela velocidade para obter apenas a curvatura geométrica.
Passo 4
Calculamos as derivadas necessárias para a nossa curva x=2t,\;y=3t^{2}.
Conferência: \rho(1)=1/\kappa(1)=\dfrac{1}{3/(20\sqrt{10})}=\dfrac{20\sqrt{10}}{3}, que bate com o resultado anterior.
Passo 8
Agora a aceleração normal (módulo) em curvas paramétricas: fórmula e interpretação.
Para uma partícula que segue a curva com velocidade escalar v(t)=\sqrt{x'^{2}+y'^{2}}, a aceleração vetorial tem componente normal (centrípeta) cujo módulo é
a_{n}(t)=\kappa(t)\,v(t)^{2}.
Outra forma equivalente é a_{n}(t)=\dfrac{v(t)^{2}}{\rho(t)}. Isso faz sentido: quanto maior a velocidade ou menor o raio de curvatura, maior a aceleração para “virar” na curva.
Passo 9
Calculamos v(t) e então a_{n}(1).
Velocidade escalar:
v(t)=\sqrt{x'^{2}+y'^{2}}=\sqrt{4+36t^{2}}.
Em t=1:
v(1)=\sqrt{40}=2\sqrt{10}.
Usamos a_{n}(1)=\kappa(1)\,v(1)^{2}. Já temos \kappa(1)=\dfrac{3}{20\sqrt{10}} e v(1)^{2}=40. Então