Se V é uma velocidade, L é um comprimento e v é uma propriedade do fluido que apresenta dimensão \mathrm{L}^{2} \mathrm{~T}^{-1}, determine quais das combinações apresentadas são adimensionais: V.L.v

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • V é uma velocidade.
  • L é um comprimento.
  • v é uma propriedade do fluido cuja dimensão é \mathrm{L}^{2}\mathrm{T}^{-1}.
O que o problema pede: determinar quais das combinações apresentadas são adimensionais. As combinações que aparecem no enunciado são V, L, v e a combinação escrita como produto V\cdot L\cdot v.

Passo 2

Breve revisão de dimensão física (aula rápida e prática).
  • Para cada grandeza física podemos associar uma “etiqueta” que mostra como ela depende das unidades básicas comprimento e tempo: escrevemos isso como [\text{grandeza}] = \mathrm{L}^{a}\mathrm{T}^{b}.
  • Uma combinação de grandezas é adimensional quando, ao expressar suas dimensões, os expoentes de \mathrm{L} e de \mathrm{T} resultam em zero (ou seja, \mathrm{L}^{0}\mathrm{T}^{0}).
  • Regras de manipulação de dimensões: ao multiplicar grandezas, somam-se os expoentes; ao dividir, subtraem-se os expoentes; ao elevar a uma potência, multiplica-se os expoentes por essa potência.

Passo 3

Anotar as dimensões conhecidas explicitamente (isso é fundamental para não errar):
  • A dimensão de V (velocidade) é
[V]=\mathrm{L}^{1}\mathrm{T}^{-1}.
  • A dimensão de L (comprimento) é
[L]=\mathrm{L}^{1}\mathrm{T}^{0}=\mathrm{L}.
  • A dimensão de v (fornecida no enunciado) é
[v]=\mathrm{L}^{2}\mathrm{T}^{-1}.

Passo 4

Verificar se cada uma das grandezas isoladas é adimensional.
  • Para V: [V]=\mathrm{L}^{1}\mathrm{T}^{-1}. Como o expoente de \mathrm{L} não é zero (é 1), e o de \mathrm{T} também não é zero (é -1), concluímos que V não é adimensional.
  • Para L: [L]=\mathrm{L}^{1}. O expoente de \mathrm{L} é 1\neq0, logo L não é adimensional.
  • Para v: [v]=\mathrm{L}^{2}\mathrm{T}^{-1}. Tem expoentes não nulos, então v também não é adimensional.

Passo 5

Agora verificar a combinação produto V\cdot L\cdot v. Aplicando a regra “multiplica-se e somam-se expoentes”:
[V\cdot L\cdot v]=[V]\,[L]\,[v]=\big(\mathrm{L}^{1}\mathrm{T}^{-1}\big)\big(\mathrm{L}^{1}\big)\big(\mathrm{L}^{2}\mathrm{T}^{-1}\big).
Somando os expoentes de \mathrm{L} e de \mathrm{T}:
\mathrm{L}^{1+1+2}\mathrm{T}^{-1+0-1}=\mathrm{L}^{4}\mathrm{T}^{-2}.
Como os expoentes não são zeros, a combinação V\cdot L\cdot v não é adimensional.

Passo 6

Resumo e dica prática (para a prova).
  • Resultado direto: nenhuma das grandezas isoladas V, L, v é adimensional. O produto V\cdot L\cdot v também não é adimensional.
  • Dica útil: muitas combinações úteis em mecânica de fluidos são do tipo razão. Por exemplo, a razão
\frac{V\,L}{v}
é adimensional porque suas dimensões se cancelam (teste rápido: \mathrm{L}^{1}\mathrm{T}^{-1}\cdot\mathrm{L}^{1} sobre \mathrm{L}^{2}\mathrm{T}^{-1} \mathrm{L}^{0}\mathrm{T}^{0}). Esse é o famoso número de Reynolds. Saber construir razões assim é uma técnica que aparece muito em provas.

Resposta

Nenhuma das combinações apresentadas é adimensional.

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