Se P é uma força e x um comprimento, quais serão as dimensões (no sistema FLT) de \mathrm{d}^{3} \mathrm{P} / \mathrm{dx}^{3}?

Passo 1

O enunciado dá explicitamente duas informações:
  • P é uma força.
  • x é um comprimento.
    O que se pede: as dimensões de \dfrac{\mathrm{d}^{3}P}{\mathrm{d}x^{3}} no sistema F\!L\!T (ou seja, usando F, L e T como grandezas fundamentais).

Passo 2

Regra básica sobre dimensões de derivadas: a dimensão de uma derivada em relação a uma variável é a dimensão do numerador dividida pela dimensão do denominador. Raciocínio simples: \dfrac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x} tem as mesmas unidades que \dfrac{\Delta f}{\Delta x}, logo unidades de f divididas por unidades de x. Exemplo concreto: a derivada do deslocamento em relação ao tempo é a velocidade, então
\left[\frac{\mathrm{d}(\text{deslocamento})}{\mathrm{d}t}\right]=\frac{[ \text{comprimento}]}{[ \text{tempo}]}=\frac{L}{T}.

Passo 3

Aplicando essa ideia para derivadas de ordem n: a dimensão de \dfrac{\mathrm{d}^{n}P}{\mathrm{d}x^{n}} é a dimensão de P dividida pela dimensão de x elevada a n. Em fórmula:
\left[\frac{\mathrm{d}^{n}P}{\mathrm{d}x^{n}}\right]=\frac{[P]}{[x]^{n}}.
Isso vem diretamente de aplicar a regra da divisão de dimensões n vezes.

Passo 4

Agora substitui os dados do enunciado: [P]=F e [x]=L. Para n=3 obtemos
\left[\frac{\mathrm{d}^{3}P}{\mathrm{d}x^{3}}\right]=\frac{F}{L^{3}}=F\,L^{-3}.

Passo 5

Verificação alternativa (opcional): se alguém preferir ver em termos de M, L, T, lembrando que [F]=M\,L\,T^{-2}, então
\left[\frac{\mathrm{d}^{3}P}{\mathrm{d}x^{3}}\right]=\frac{M\,L\,T^{-2}}{L^{3}}=M\,L^{-2}\,T^{-2},
o que é consistente com F\,L^{-3} porque F=M\,L\,T^{-2}.

Resposta

F\,L^{-3}

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