Se V é uma velocidade, L é um comprimento e v é uma propriedade do fluido que apresenta dimensão \mathrm{L}^{2} \mathrm{~T}^{-1}, determine quais das combinações apresentadas são adimensionais: V^{2} . \mathrm{v}

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede para identificar se a combinação indicada é adimensional:
  • V é uma velocidade, logo sua dimensão é a de velocidade.
  • L é um comprimento (informação dada, mas não aparece explicitamente na combinação que vamos avaliar).
  • v é uma propriedade do fluido com dimensão \mathrm{L}^{2}\mathrm{T}^{-1}.
    A combinação a verificar é V^{2}\cdot v. A pergunta: essa combinação é adimensional (ou seja, sem dimensão)?

Passo 2

Vamos revisar a ideia de análise dimensional de forma bem direta e prática.
  • Definimos [X] como a dimensão da grandeza X.
  • Regras básicas: [A\cdot B]=[A]\,[B],ou seja, ao multiplicar grandezas multiplicam-se as suas dimensões. [A^{n}]=[A]^{n},ou seja, elevar uma grandeza a uma potência multiplica os expoentes das dimensões.
  • Uma grandeza é adimensional se e somente se a sua dimensão resulta em \mathrm{L}^{0}\mathrm{T}^{0} (ou seja, nenhum fator de L nem de T permanece).

Passo 3

Identificar as dimensões das grandezas envolvidas:
  • Como V é velocidade, sua dimensão é [V]=\mathrm{L}\,\mathrm{T}^{-1}.
  • Foi dado que v tem dimensão \mathrm{L}^{2}\mathrm{T}^{-1}, portanto [v]=\mathrm{L}^{2}\,\mathrm{T}^{-1}.

Passo 4

Calcular a dimensão de V^{2}\cdot v aplicando as regras:
  • Primeiro [V^{2}]=[V]^{2}=(\mathrm{L}\,\mathrm{T}^{-1})^{2}=\mathrm{L}^{2}\,\mathrm{T}^{-2}.
  • Agora multiplicamos por [v]: [V^{2}\cdot v]=(\mathrm{L}^{2}\,\mathrm{T}^{-2})\cdot(\mathrm{L}^{2}\,\mathrm{T}^{-1})=\mathrm{L}^{4}\,\mathrm{T}^{-3}.
Mostrando passo a passo: os expoentes de \mathrm{L} somam 2+2=4 e os de \mathrm{T} somam -2+(-1)=-3.

Passo 5

Interpretação final e dica prática:
  • A dimensão \mathrm{L}^{4}\mathrm{T}^{-3} não é igual a \mathrm{L}^{0}\mathrm{T}^{0}, portanto V^{2}\cdot v não é adimensional.
  • Dica rápida: para construir quantidades adimensionais envolvendo velocidade V, comprimento L e viscosidade cinemática v (mesma dimensão dada), uma combinação comum é o número de Reynolds \mathrm{Re}=\frac{V\,L}{v},que tem dimensão \mathrm{L}^{0}\mathrm{T}^{0}. Isso ajuda a entender que multiplicar V^{2} por v tende a produzir potências positivas de L e T, não uma combinação sem dimensão.

Resposta

Não é adimensional: V^{2}\cdot v tem dimensão \mathrm{L}^{4}\mathrm{T}^{-3}.

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