(vale 1,5) Em cada um dos itens abaixo, faça o que se pede:
(a) (vale 1) Resolva a equação y^{\prime}-2 y=x \mathrm{e}^{-2 x}.
(b) (vale 0,5 ) Sabendo que y(0)=0, determine a expressio de y.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  1. (a) Resolver a equação diferencial \,y' - 2y = x\,\mathrm{e}^{-2x}.
  2. (b) Usando a condição inicial \,y(0)=0, determinar a expressão explícita de y.
Informações dadas:
\;y' - 2y = x\,\mathrm{e}^{-2x} é a equação diferencial a resolver e \;y(0)=0 é a condição inicial para o item (b).

Passo 2

Transformando a equação para a forma padrão de uma equação linear de 1ª ordem:
y' + p(x)\,y = q(x),
onde aqui p(x) = -2 e q(x)=x\,\mathrm{e}^{-2x}.
Explicação do método (integrating factor): para resolver uma equação linear de 1ª ordem na forma acima, usamos o fator integrante
\mu(x)=\mathrm{e}^{\int p(x)\,dx}.
Esse fator tem a propriedade de que \mu(x)\bigl(y' + p(x)y\bigr) = \dfrac{d}{dx}\bigl(\mu(x) y\bigr). Vamos calcular \mu neste problema.

Passo 3

Calculemos o fator integrante:
\mu(x)=\mathrm{e}^{\int -2\,dx}=\mathrm{e}^{-2x}.
Multiplicando a equação original por \mu(x)=\mathrm{e}^{-2x} obtemos
\mathrm{e}^{-2x}y' -2\mathrm{e}^{-2x}y = x\,\mathrm{e}^{-4x}.
Pela propriedade mencionada, o lado esquerdo é a derivada de \mathrm{e}^{-2x}y:
\frac{d}{dx}\bigl(\mathrm{e}^{-2x}y\bigr)=x\,\mathrm{e}^{-4x}.

Passo 4

Integramos ambos os lados em relação a x:
\mathrm{e}^{-2x}y=\int x\,\mathrm{e}^{-4x}\,dx + C,
onde C é a constante de integração.
Agora precisamos calcular a integral \int x\,\mathrm{e}^{-4x}\,dx. Usamos integração por partes, cuja fórmula é
\int u\,dv = u v - \int v\,du.
Escolhemos u=x (assim du=dx) e dv=\mathrm{e}^{-4x}\,dx (assim v=\int \mathrm{e}^{-4x}\,dx = -\tfrac{1}{4}\mathrm{e}^{-4x}). Aplicando:
\begin{aligned} \int x\,\mathrm{e}^{-4x}\,dx &= x\left(-\tfrac{1}{4}\mathrm{e}^{-4x}\right) - \int \left(-\tfrac{1}{4}\mathrm{e}^{-4x}\right)\,dx \\\ &= -\tfrac{x}{4}\mathrm{e}^{-4x} + \tfrac{1}{4}\int \mathrm{e}^{-4x}\,dx \\\ &= -\tfrac{x}{4}\mathrm{e}^{-4x} + \tfrac{1}{4}\left(-\tfrac{1}{4}\mathrm{e}^{-4x}\right) + C \\\ &= -\mathrm{e}^{-4x}\left(\tfrac{x}{4}+\tfrac{1}{16}\right) + C. \end{aligned}

Passo 5

Substituindo a integral encontrada em \mathrm{e}^{-2x}y=\int x\,\mathrm{e}^{-4x}\,dx + C, obtemos
\mathrm{e}^{-2x}y = -\mathrm{e}^{-4x}\left(\tfrac{x}{4}+\tfrac{1}{16}\right) + C.
Multiplicando ambos os lados por \mathrm{e}^{2x} para isolar y:
y = -\mathrm{e}^{-2x}\left(\tfrac{x}{4}+\tfrac{1}{16}\right) + C\,\mathrm{e}^{2x}.
Simplificando o termo multiplicativo:
y = C\,\mathrm{e}^{2x} - \frac{4x+1}{16}\,\mathrm{e}^{-2x},
que é a solução geral da equação diferencial (resposta do item (a)). Aqui C é a constante arbitrária de integração.

Passo 6

Agora aplicamos a condição inicial do item (b): \,y(0)=0. Substituindo x=0 na solução geral,
0 = y(0) = C\,\mathrm{e}^{0} - \frac{4\cdot 0 + 1}{16}\,\mathrm{e}^{0} = C - \frac{1}{16}.
Portanto
C = \frac{1}{16}.

Passo 7

Substituindo C=\tfrac{1}{16} na solução geral, obtemos a solução particular que satisfaz y(0)=0:
y(x)=\frac{1}{16}\,\mathrm{e}^{2x} - \frac{4x+1}{16}\,\mathrm{e}^{-2x}.
Podemos também escrever de forma factorizada:
y(x)=\frac{1}{16}\Bigl(\mathrm{e}^{2x}-(4x+1)\mathrm{e}^{-2x}\Bigr).

Resposta

(a) y = C\,\mathrm{e}^{2x} - \dfrac{4x+1}{16}\,\mathrm{e}^{-2x}
(b) y = \dfrac{1}{16}\,\mathrm{e}^{2x} - \dfrac{4x+1}{16}\,\mathrm{e}^{-2x}

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