(vale 1,5) Em cada um dos itens abaixo, faça o que se pede:
(a) (vale 1) Resolva a equação
.
(b) (vale 0,5 ) Sabendo que
, determine a expressio de
.
(a) (vale 1) Resolva a equação
(b) (vale 0,5 ) Sabendo que
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
- (a) Resolver a equação diferencial
. - (b) Usando a condição inicial
, determinar a expressão explícita de .
Informações dadas:
é a equação diferencial a resolver e
é a condição inicial para o item (b).
Passo 2
Transformando a equação para a forma padrão de uma equação linear de 1ª ordem:
onde aqui
e
.
Explicação do método (integrating factor): para resolver uma equação linear de 1ª ordem na forma acima, usamos o fator integrante
Esse fator tem a propriedade de que
. Vamos calcular
neste problema.
Passo 3
Calculemos o fator integrante:
Multiplicando a equação original por
obtemos
Pela propriedade mencionada, o lado esquerdo é a derivada de
:
Passo 4
Integramos ambos os lados em relação a
:
onde
é a constante de integração.
Agora precisamos calcular a integral
. Usamos integração por partes, cuja fórmula é
Escolhemos
(assim
) e
(assim
). Aplicando:
Passo 5
Substituindo a integral encontrada em
, obtemos
Multiplicando ambos os lados por
para isolar
:
Simplificando o termo multiplicativo:
que é a solução geral da equação diferencial (resposta do item (a)). Aqui
é a constante arbitrária de integração.
Passo 6
Agora aplicamos a condição inicial do item (b):
. Substituindo
na solução geral,
Portanto
Passo 7
Substituindo
na solução geral, obtemos a solução particular que satisfaz
:
Podemos também escrever de forma factorizada:
Resposta
(a)
(b)