Inscreva em um círculo de raio R , o triângulo de área máxima.

Passo 1

O enunciado pede que, dado um círculo de raio \;R\;, inscrevamos nele um triângulo que tenha a maior área possível.
Informações dadas e o que se pede:
  • Dado: um círculo de raio \;R\; (fixo).
  • Pedidos: (1) qual triângulo inscrito no círculo tem área máxima; (2) qual é a área máxima desse triângulo.

Passo 2

Vamos representar o triângulo inscrito pelos seus ângulos internos em seus vértices: sejam \alpha, \beta e \gamma os ângulos internos do triângulo, com
\alpha+\beta+\gamma=\pi,\qquad \alpha,\beta,\gamma>0.
Explico por que esse é um bom parâmetro: cada lado do triângulo é uma corda do círculo e o comprimento de uma corda que subtende um ângulo inscrito A no círculo é dado por
\text{corda} = 2R\sin A.
No nosso triângulo, o lado oposto a \alpha tem comprimento
a=2R\sin\alpha,
e de forma análoga
b=2R\sin\beta,\qquad c=2R\sin\gamma.
(Comentário rápido: essa fórmula vem da relação entre ângulo inscrito e corda; se ficar estranho, imagina o triângulo isósceles com vértices no centro e nos extremos da corda e usa trigonometria básica.)

Passo 3

Agora vamos escrever a área K do triângulo em função de \alpha,\beta,\gamma. Uma fórmula simples para a área é
K=\tfrac{1}{2}bc\sin\alpha.
Substituindo b e c pelas expressões em função de R e dos ângulos:
K=\tfrac{1}{2}\cdot(2R\sin\beta)\cdot(2R\sin\gamma)\cdot\sin\alpha.
Simplificando:
K=2R^{2}\,\sin\alpha\sin\beta\sin\gamma.
Portanto, para um raio R fixo, maximizar K é equivalente a maximizar o produto
S=\sin\alpha\sin\beta\sin\gamma
sob a restrição \alpha+\beta+\gamma=\pi.

Passo 4

Agora vamos maximizar S=\sin\alpha\sin\beta\sin\gamma com \alpha+\beta+\gamma=\pi. Uma forma elegante e didática de ver isso é trabalhar com o logaritmo do produto:
\ln S=\ln(\sin\alpha)+\ln(\sin\beta)+\ln(\sin\gamma).
Defina a função
g(x)=\ln(\sin x),\qquad x\in(0,\pi).
Vamos estudar a curvatura de g (isso vai nos dizer onde a soma g(\alpha)+g(\beta)+g(\gamma) é máxima). Calculamos as derivadas:
g'(x)=\cot x,
g''(x)=-\frac{1}{\sin^{2}x}<0\quad\text{para }x\in(0,\pi).
Como g''(x)<0, a função g é estritamente côncava no intervalo (0,\pi).

Passo 5

Para uma função estritamente côncava g, vale a desigualdade de Jensen: a média dos valores está abaixo do valor no ponto médio,
\frac{g(\alpha)+g(\beta)+g(\gamma)}{3}\le g\!\Big(\frac{\alpha+\beta+\gamma}{3}\Big).
Como \alpha+\beta+\gamma=\pi, temos \frac{\alpha+\beta+\gamma}{3}=\frac{\pi}{3}. Assim
g(\alpha)+g(\beta)+g(\gamma)\le 3\,g\!\Big(\frac{\pi}{3}\Big).
Exponenciando ambos os lados (pois exponencial é crescente) obtemos
\sin\alpha\sin\beta\sin\gamma \le \sin^{3}\!\Big(\frac{\pi}{3}\Big).
A igualdade ocorre exatamente quando \alpha=\beta=\gamma=\frac{\pi}{3}. Ou seja: o produto das senos é máximo quando os três ângulos do triângulo são iguais.

Passo 6

Concluímos, então, que o triângulo inscrito de maior área tem
\alpha=\beta=\gamma=\frac{\pi}{3},
ou seja, é um triângulo equilátero. Agora calculamos a área máxima substituindo na fórmula de K:
K_{\max}=2R^{2}\sin^{3}\!\Big(\frac{\pi}{3}\Big).
Sabemos que \sin\!\big(\frac{\pi}{3}\big)=\frac{\sqrt{3}}{2}. Logo
\sin^{3}\!\Big(\frac{\pi}{3}\Big)=\Big(\frac{\sqrt{3}}{2}\Big)^{3}=\frac{3\sqrt{3}}{8}.
Substituindo,
K_{\max}=2R^{2}\cdot\frac{3\sqrt{3}}{8}=\frac{3\sqrt{3}}{4}\,R^{2}.

Passo 7

Como informação extra (útil na prova): o lado a do triângulo equilátero inscrito é
a=2R\sin\!\Big(\frac{\pi}{3}\Big)=2R\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=R\sqrt{3},
o que é coerente com a fórmula conhecida R=\dfrac{a}{\sqrt{3}} para um triângulo equilátero.

Resposta

Triângulo equilátero.
K_{\max}=\dfrac{3\sqrt{3}}{4}\,R^{2}

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