Inscreva em um círculo de raio R , o triângulo de área máxima.
Passo 1
O enunciado pede que, dado um círculo de raio
, inscrevamos nele um triângulo que tenha a maior área possível.
Informações dadas e o que se pede:
Informações dadas e o que se pede:
- Dado: um círculo de raio
(fixo). - Pedidos: (1) qual triângulo inscrito no círculo tem área máxima; (2) qual é a área máxima desse triângulo.
Passo 2
Vamos representar o triângulo inscrito pelos seus ângulos internos em seus vértices: sejam
,
e
os ângulos internos do triângulo, com
Explico por que esse é um bom parâmetro: cada lado do triângulo é uma corda do círculo e o comprimento de uma corda que subtende um ângulo inscrito
no círculo é dado por
No nosso triângulo, o lado oposto a
tem comprimento
e de forma análoga
(Comentário rápido: essa fórmula vem da relação entre ângulo inscrito e corda; se ficar estranho, imagina o triângulo isósceles com vértices no centro e nos extremos da corda e usa trigonometria básica.)
Passo 3
Agora vamos escrever a área
do triângulo em função de
. Uma fórmula simples para a área é
Substituindo
e
pelas expressões em função de
e dos ângulos:
Simplificando:
Portanto, para um raio
fixo, maximizar
é equivalente a maximizar o produto
sob a restrição
.
Passo 4
Agora vamos maximizar
com
. Uma forma elegante e didática de ver isso é trabalhar com o logaritmo do produto:
Defina a função
Vamos estudar a curvatura de
(isso vai nos dizer onde a soma
é máxima). Calculamos as derivadas:
Como
, a função
é estritamente côncava no intervalo
.
Passo 5
Para uma função estritamente côncava
, vale a desigualdade de Jensen: a média dos valores está abaixo do valor no ponto médio,
Como
, temos
. Assim
Exponenciando ambos os lados (pois exponencial é crescente) obtemos
A igualdade ocorre exatamente quando
. Ou seja: o produto das senos é máximo quando os três ângulos do triângulo são iguais.
Passo 6
Concluímos, então, que o triângulo inscrito de maior área tem
ou seja, é um triângulo equilátero. Agora calculamos a área máxima substituindo na fórmula de
:
Sabemos que
. Logo
Substituindo,
Passo 7
Como informação extra (útil na prova): o lado
do triângulo equilátero inscrito é
o que é coerente com a fórmula conhecida
para um triângulo equilátero.
Resposta
Triângulo equilátero.