Determine a derivada direcional da função z=\operatorname{sen}(2 x-y), no ponto \left(\frac{\pi}{2}, \chi\right) e na direção do vetor \overrightarrow{A B}, sendo A(5,1) e B(2,-3).
Passo 1
O que o exercício pede: determinar a derivada direcional da função z=\operatorname{sen}(2x-y) no ponto \left(\frac{\pi}{2},\chi\right) na direção do vetor \overrightarrow{AB}, onde A(5,1) e B(2,-3).
Informações dadas:
\text{função } f(x,y)=\operatorname{sen}(2x-y),çã
\text{ponto } P=\left(\frac{\pi}{2},\chi\right),
A(5,1),\quad B(2,-3).
Pergunta explícita: calcular a derivada direcional de f em P na direção do vetor \overrightarrow{AB} (interpreto como a derivada por unidade de comprimento na direção de \overrightarrow{AB}).
Passo 2
Calcular o vetor direção \overrightarrow{AB} subtraindo coordenadas de A e B:
\overrightarrow{AB}=B-A=(2-5,\,-3-1)=(-3,\,-4).
Passo 3
Calcular o comprimento (norma) de \overrightarrow{AB}:
Motivação: a derivada direcional padrão é medida por unidade de deslocamento, por isso usamos o vetor unitário.
Passo 5
Lembrar a fórmula da derivada direcional: para f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}, a derivada direcional de f em P na direção de \mathbf{u} é o produto escalar entre o gradiente de f em P e \mathbf{u}:
D_{\mathbf{u}}f(P)=\nabla f(P)\cdot \mathbf{u}.
Aqui \nabla f=(\partial f/\partial x,\;\partial f/\partial y). Explicação: o gradiente aponta a direção de maior crescimento e o produto escalar com \mathbf{u} projeta esse crescimento na direção desejada.
Passo 6
Calcular as derivadas parciais de f(x,y)=\operatorname{sen}(2x-y) usando a regra da cadeia.