Determine a derivada direcional da função z=\operatorname{sen}(2 x-y), no ponto \left(\frac{\pi}{2}, \chi\right) e na direção do vetor \overrightarrow{A B}, sendo A(5,1) e B(2,-3).

Passo 1

O que o exercício pede: determinar a derivada direcional da função z=\operatorname{sen}(2x-y) no ponto \left(\frac{\pi}{2},\chi\right) na direção do vetor \overrightarrow{AB}, onde A(5,1) e B(2,-3).
Informações dadas:
\text{função } f(x,y)=\operatorname{sen}(2x-y),çã
\text{ponto } P=\left(\frac{\pi}{2},\chi\right),
A(5,1),\quad B(2,-3).
Pergunta explícita: calcular a derivada direcional de f em P na direção do vetor \overrightarrow{AB} (interpreto como a derivada por unidade de comprimento na direção de \overrightarrow{AB}).

Passo 2

Calcular o vetor direção \overrightarrow{AB} subtraindo coordenadas de A e B:
\overrightarrow{AB}=B-A=(2-5,\,-3-1)=(-3,\,-4).

Passo 3

Calcular o comprimento (norma) de \overrightarrow{AB}:
\|\overrightarrow{AB}\|=\sqrt{(-3)^2+(-4)^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5.
Explicação rápida: usamos a fórmula da distância euclidiana em \mathbb{R}^2, \sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}.

Passo 4

Obter o vetor unitário na direção de \overrightarrow{AB}: divide-se o vetor pela sua norma:
\mathbf{u}=\frac{\overrightarrow{AB}}{\|\overrightarrow{AB}\|=\;5}=\left(-\frac{3}{5},\,-\frac{4}{5}\right).
Motivação: a derivada direcional padrão é medida por unidade de deslocamento, por isso usamos o vetor unitário.

Passo 5

Lembrar a fórmula da derivada direcional: para f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}, a derivada direcional de f em P na direção de \mathbf{u} é o produto escalar entre o gradiente de f em P e \mathbf{u}:
D_{\mathbf{u}}f(P)=\nabla f(P)\cdot \mathbf{u}.
Aqui \nabla f=(\partial f/\partial x,\;\partial f/\partial y). Explicação: o gradiente aponta a direção de maior crescimento e o produto escalar com \mathbf{u} projeta esse crescimento na direção desejada.

Passo 6

Calcular as derivadas parciais de f(x,y)=\operatorname{sen}(2x-y) usando a regra da cadeia.
Derivada parcial em relação a x:
\frac{\partial f}{\partial x}= \cos(2x-y)\cdot \frac{\partial}{\partial x}(2x-y)=\cos(2x-y)\cdot 2=2\cos(2x-y).
Explicação: a derivada de \sin(u) é \cos(u)\cdot u'. Aqui u=2x-y e u'_x=2.
Derivada parcial em relação a y:
\frac{\partial f}{\partial y}= \cos(2x-y)\cdot \frac{\partial}{\partial y}(2x-y)=\cos(2x-y)\cdot (-1)=-\cos(2x-y).
Explicação: u'_y=-1.

Passo 7

Formar o gradiente geral:
\boxed{\nabla f(x,y)=\bigl(2\cos(2x-y),\; -\cos(2x-y)\bigr)}.

Passo 8

Avaliar o gradiente no ponto P=\left(\frac{\pi}{2},\chi\right). Primeiro calcular 2x-y em P:
2\cdot\frac{\pi}{2}-\chi=\pi-\chi.
Logo
\nabla f\!\left(\frac{\pi}{2},\chi\right)=\bigl(2\cos(\pi-\chi),\; -\cos(\pi-\chi)\bigr).

Passo 9

Usar a identidade trigonométrica \cos(\pi-\chi)=-\cos\chi (porque o cosseno é negativo no deslocamento \pi-\chi). Substituindo:
\nabla f\!\left(\frac{\pi}{2},\chi\right)=\bigl(2(-\cos\chi),\; -(-\cos\chi)\bigr)=\bigl(-2\cos\chi,\; \cos\chi\bigr)=\cos\chi\cdot(-2,\,1).
Explicação: fatoramos \cos\chi para simplificar a multiplicação escalar depois.

Passo 10

Calcular a derivada direcional como produto escalar entre \nabla f(P) e \mathbf{u}:
D_{\mathbf{u}}f\!\left(\frac{\pi}{2},\chi\right)=\nabla f\!\left(\frac{\pi}{2},\chi\right)\cdot \mathbf{u} =\cos\chi\cdot(-2,1)\cdot\left(-\tfrac{3}{5},-\tfrac{4}{5}\right).
Fazendo o produto escalar:
(-2)\left(-\tfrac{3}{5}\right)+1\left(-\tfrac{4}{5}\right)=\tfrac{6}{5}-\tfrac{4}{5}=\tfrac{2}{5}.
Portanto
D_{\mathbf{u}}f\!\left(\frac{\pi}{2},\chi\right)=\frac{2}{5}\cos\chi.

Resposta

\displaystyle \frac{2}{5}\cos\chi

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