(vale 1) Dados os pontos \mathrm{A}(0,-1,2), \mathrm{B}(4,-2,-1), determinar P tal que \overrightarrow{A P}=2 \overrightarrow{A B}

Passo 1

O enunciado pede: determinar o ponto P tal que \overrightarrow{AP}=2\overrightarrow{AB}.
Dados fornecidos: A(0,-1,2) e B(4,-2,-1).
Não há outras informações; vamos usar coordenadas e operações vetoriais para achar P.

Passo 2

Conceito importante (explicação didática): o vetor que vai de um ponto X(x_1,x_2,x_3) até um ponto Y(y_1,y_2,y_3) é dado por subtrair as coordenadas:
\overrightarrow{XY}=(y_1-x_1,\;y_2-x_2,\;y_3-x_3).
Isto significa que fazemos a diferença coordenada a coordenada. É assim que obtemos \overrightarrow{AB}.

Passo 3

Aplicando a fórmula ao caso A(0,-1,2) e B(4,-2,-1):
\overrightarrow{AB}=(4-0,\;-2-(-1),\;-1-2)=(4,\,-1,\,-3).

Passo 4

Conceito importante (multiplicação escalar): multiplicar um vetor (v_1,v_2,v_3) por um escalar \lambda significa multiplicar cada coordenada:
\lambda(v_1,v_2,v_3)=(\lambda v_1,\;\lambda v_2,\;\lambda v_3).
Queremos 2\overrightarrow{AB}, então:
2\overrightarrow{AB}=2(4,-1,-3)=(8,-2,-6).

Passo 5

Relação entre vetores e pontos (como achar P): se \overrightarrow{AP}=(p_1-a_1,\;p_2-a_2,\;p_3-a_3) e sabemos \overrightarrow{AP}, então as coordenadas de P são
P=A+\overrightarrow{AP},
isto é, somamos coordenada a coordenada.

Passo 6

Usando A(0,-1,2) e \overrightarrow{AP}=2\overrightarrow{AB}=(8,-2,-6):
P=(0, -1, 2)+(8,-2,-6)=(0+8,\;-1+(-2),\;2+(-6))=(8,-3,-4).

Passo 7

Verificação rápida (pra ficar seguro): calcular \overrightarrow{AP} a partir de A e o P encontrado:
\overrightarrow{AP}=(8-0,\;-3-(-1),\;-4-2)=(8,-2,-6),
que é exatamente 2\overrightarrow{AB}. Tudo confere — manda ver na prova, você consegue!

Resposta

P(8,-3,-4)

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