(vale 1) Dados os vetores \vec{u}=(2,-2), \vec{v}=(0,-1) determinar \vec{w} tal que 2(\vec{u}-\vec{v})+\frac{1}{3} \vec{w}=3 \vec{u}+\vec{w}

Passo 1

O enunciado dá os vetores \vec{u}=(2,-2) e \vec{v}=(0,-1) e pede para determinar \vec{w} que satisfaz a equação
2(\vec{u}-\vec{v})+\frac{1}{3}\vec{w}=3\vec{u}+\vec{w}.
Informações relevantes:
\vec{u}=(2,-2).
\vec{v}=(0,-1).
A incógnita é \vec{w}.
A equação vetorial a resolver é \;2(\vec{u}-\vec{v})+\dfrac{1}{3}\vec{w}=3\vec{u}+\vec{w}.

Passo 2

Vamos manipular a equação para isolar os termos com \vec{w}. Começo passando todos os termos para um só lado:
2(\vec{u}-\vec{v})+\frac{1}{3}\vec{w}-3\vec{u}-\vec{w}=\vec{0}.
Agora agrupo os termos que têm \vec{u}, \vec{v} e \vec{w}:
(2\vec{u}-3\vec{u})-2\vec{v}+\left(\frac{1}{3}\vec{w}-\vec{w}\right)=\vec{0}.

Passo 3

Calculo cada parte:
2\vec{u}-3\vec{u}=-\vec{u}
e
\frac{1}{3}\vec{w}-\vec{w}=\left(\frac{1}{3}-1\right)\vec{w}=-\frac{2}{3}\vec{w}.
Substituindo na equação agrupada obtemos
-\vec{u}-2\vec{v}-\frac{2}{3}\vec{w}=\vec{0}.

Passo 4

Multiplico por -1 para ficar mais confortável e isolar \vec{w}:
\vec{u}+2\vec{v}+\frac{2}{3}\vec{w}=\vec{0}.
Agora isolo o termo com \vec{w}:
\frac{2}{3}\vec{w}=-\vec{u}-2\vec{v}.
Para “desfazer” a multiplicação por \dfrac{2}{3} eu multiplico ambos os lados pelo recíproco \dfrac{3}{2}, obtendo
\vec{w}=\frac{3}{2}\bigl(-\vec{u}-2\vec{v}\bigr)=-\frac{3}{2}\bigl(\vec{u}+2\vec{v}\bigr).
Explicando rápido: multiplicar um vetor por um escalar significa multiplicar cada componente do vetor por esse escalar.

Passo 5

Agora uso os valores dados de \vec{u} e \vec{v}. Primeiro calculo 2\vec{v}:
2\vec{v}=2(0,-1)=(0,-2).
Em seguida somo \vec{u}+2\vec{v}:
\vec{u}+2\vec{v}=(2,-2)+(0,-2)=(2,-4).

Passo 6

Multiplico o vetor (2,-4) pelo escalar -\dfrac{3}{2}. Fazendo componente a componente:
-\frac{3}{2}\cdot 2 = -3,
-\frac{3}{2}\cdot (-4)=6.
Portanto obtemos o valor de \vec{w} (aqui concluímos a conta).

Passo 7

Verificação (opcional, só para me deixar mais seguro): calculo ambos os lados da equação inicial com a \vec{w} encontrada. Primeiro \vec{u}-\vec{v}=(2,-2)-(0,-1)=(2,-1), então
2(\vec{u}-\vec{v})=(4,-2).
Também \frac{1}{3}\vec{w}=\frac{1}{3}(-3,6)=(-1,2). A soma dá (4,-2)+(-1,2)=(3,0).
No outro lado, 3\vec{u}=(6,-6) e 3\vec{u}+\vec{w}=(6,-6)+(-3,6)=(3,0).
Como os dois lados coincidem, a \vec{w} encontrada está correta.

Resposta

\vec{w}=(-3,6)

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