(vale 1) Calcular a e b de modo que sejam colineares os pontos \mathrm{A}(2,-1,2), \mathrm{B}(\mathrm{a}, \mathrm{b}, 5), C(3,0,-1).
Passo 1
O enunciado dá três pontos e pede que sejam colineares: A(2,-1,2), B(a,b,5) e C(3,0,-1).
Pergunta: determinar os valores de a e b para que A, B e C estejam na mesma reta (isto é, sejam colineares).
Informações relevantes dadas: as coordenadas dos pontos A e C são numéricas e as coordenadas de B dependem de a e b. Não há outras informações escondidas.
Passo 2
Ideia que vamos usar (explicação didática): três pontos são colineares quando o vetor que vai de um ponto a outro é proporcional ao vetor que vai desse primeiro ponto ao terceiro. Em linguagem simples: se eu calcular o vetor \overrightarrow{AB} e o vetor \overrightarrow{AC}, para os três pontos serem colineares existe um número real \lambda tal que
\overrightarrow{AB}=\lambda\,\overrightarrow{AC}.
Aqui \lambda é um número escalar (pode ser positivo, negativo ou zero) que diz o quanto o vetor \overrightarrow{AC} é “esticado” ou “invertido” para virar \overrightarrow{AB}.
Passo 3
Calcular os vetores usando as coordenadas (explicando como obter cada componente): para dois pontos P(x_1,y_1,z_1) e Q(x_2,y_2,z_2), o vetor \overrightarrow{PQ} tem componentes (x_2-x_1,\;y_2-y_1,\;z_2-z_1).
Aplicando isso: