(vale 1) Calcular a e b de modo que sejam colineares os pontos \mathrm{A}(2,-1,2), \mathrm{B}(\mathrm{a}, \mathrm{b}, 5), C(3,0,-1).

Passo 1

O enunciado dá três pontos e pede que sejam colineares:
A(2,-1,2), B(a,b,5) e C(3,0,-1).
Pergunta: determinar os valores de a e b para que A, B e C estejam na mesma reta (isto é, sejam colineares).
Informações relevantes dadas: as coordenadas dos pontos A e C são numéricas e as coordenadas de B dependem de a e b. Não há outras informações escondidas.

Passo 2

Ideia que vamos usar (explicação didática): três pontos são colineares quando o vetor que vai de um ponto a outro é proporcional ao vetor que vai desse primeiro ponto ao terceiro. Em linguagem simples: se eu calcular o vetor \overrightarrow{AB} e o vetor \overrightarrow{AC}, para os três pontos serem colineares existe um número real \lambda tal que
\overrightarrow{AB}=\lambda\,\overrightarrow{AC}.
Aqui \lambda é um número escalar (pode ser positivo, negativo ou zero) que diz o quanto o vetor \overrightarrow{AC} é “esticado” ou “invertido” para virar \overrightarrow{AB}.

Passo 3

Calcular os vetores usando as coordenadas (explicando como obter cada componente): para dois pontos P(x_1,y_1,z_1) e Q(x_2,y_2,z_2), o vetor \overrightarrow{PQ} tem componentes (x_2-x_1,\;y_2-y_1,\;z_2-z_1).
Aplicando isso:
\overrightarrow{AC}=(3-2,\;0-(-1),\;-1-2)=(1,\;1,\;-3).

Passo 4

Expressar \overrightarrow{AB} em função de a e b:
\overrightarrow{AB}=(a-2,\;b-(-1),\;5-2)=(a-2,\;b+1,\;3).

Passo 5

Impor a proporcionalidade componente a componente: existe \lambda tal que
(a-2,\;b+1,\;3)=\lambda(1,\;1,\;-3).
Isto gera o sistema de três equações:
a-2=\lambda,
b+1=\lambda,
3=-3\lambda.
Expliquei: cada componente do vetor à esquerda deve ser igual ao escalar \lambda vezes a componente correspondente do vetor à direita.

Passo 6

Resolver primeiro pela terceira equação (é a mais direta): da terceira equação
3=-3\lambda \implies \lambda=-1.
Substituindo \lambda=-1 nas duas primeiras:
a-2=-1 \implies a=2-1=1,
b+1=-1 \implies b=-1-1=-2.
Mostrei passo a passo como isolar a e b a partir das equações lineares simples.

Passo 7

Verificação rápida (importante em prova): com a=1 e b=-2,
\overrightarrow{AB}=(1-2,\;-2+1,\;3)=(-1,\;-1,\;3)
e
\overrightarrow{AC}=(1,\;1,\;-3).
De fato \overrightarrow{AB}=-1\cdot\overrightarrow{AC}, então são proporcionais e os pontos são colineares. Tudo bate, solução confirmada.

Resposta

(a,b)=(1,-2)

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