Vale a igualdade \|\vec{u}+\vec{v}\|=\|\vec{u}\|+\|\vec{v}\| para quaisquer vetores \vec{u} e \vec{v} ? Justifique sua resposta. E quanto a \|\vec{u}-\vec{w}\|=\|\vec{u}\|-\|\vec{w}\| ?

Passo 1

O enunciado nos pergunta se vale, para quaisquer vetores \vec{u},\vec{v}, a igualdade
\|\vec{u}+\vec{v}\| \;=\;\|\vec{u}\|+\|\vec{v}\|
e, em seguida, se vale a igualdade
\|\vec{u}-\vec{w}\| \;=\;\|\vec{u}\|-\|\vec{w}\|.
O conteúdo teórico central é a desigualdade triangular e as condições de igualdade nela.

Passo 2

Recordando a desigualdade triangular, para quaisquer vetores \vec{u},\vec{v} em um espaço com produto interno vale
\|\vec{u}+\vec{v}\|\;\le\;\|\vec{u}\|+\|\vec{v}\|.
A demonstração se apoia no fato de que
\|\vec{u}+\vec{v}\|^2 =\|\vec{u}\|^2+2\langle \vec{u},\vec{v}\rangle+\|\vec{v}\|^2 \le\|\vec{u}\|^2+2\|\vec{u}\|\,\|\vec{v}\|+\|\vec{v}\|^2 =\bigl(\|\vec{u}\|+\|\vec{v}\|\bigr)^2.
A igualdade ocorre exatamente quando \langle \vec{u},\vec{v}\rangle =\|\vec{u}\|\|\vec{v}\|, isto é, quando \vec{v}=\lambda\vec{u} com \lambda\ge0 (vetores paralelos e mesmo sentido).

Passo 3

Concluímos, portanto, que a igualdade \|\vec{u}+\vec{v}\|=\|\vec{u}\|+\|\vec{v}\|
não vale para quaisquer \vec{u},\vec{v}, mas quando \vec{u} e \vec{v} são colineares e apontam no mesmo sentido.
Por exemplo, se \vec{u}\perp\vec{v} então \|\vec{u}+\vec{v}\|=\sqrt{\|\vec{u}\|^2+\|\vec{v}\|^2}<\|\vec{u}\|+\|\vec{v}\|.

Passo 4

Para a segunda igualdade, escrevemos \vec{u}=(\vec{u}-\vec{w})+\vec{w}
e aplicamos a desigualdade triangular:
\|\vec{u}\|\le\|\vec{u}-\vec{w}\|+\|\vec{w}\| \quad\Longrightarrow\quad \|\vec{u}-\vec{w}\|\ge\|\vec{u}\|-\|\vec{w}\|.
Além disso, vale a versão reversa trocando \vec{u} por \vec{w}, o que dá \|\vec{u}-\vec{w}\|\ge\bigl|\|\vec{u}\|-\|\vec{w}\|\bigr|.
A igualdade \|\vec{u}-\vec{w}\|=\|\vec{u}\|-\|\vec{w}\| ocorre se, na aplicação da desigualdade triangular, tivermos igualdade, isto é, se \vec{u}-\vec{w} e \vec{w} forem paralelos com \langle\vec{u}-\vec{w},\vec{w}\rangle=\|\vec{u}-\vec{w}\|\|\vec{w}\|. Isso equivale a \vec{w}=\lambda\vec{u} com 0\le\lambda\le1.

Passo 5

Resumindo:
  • A igualdade \|\vec{u}+\vec{v}\|=\|\vec{u}\|+\|\vec{v}\| vale quando \vec{u} e \vec{v} são colineares e têm o mesmo sentido.
  • A igualdade \|\vec{u}-\vec{w}\|=\|\vec{u}\|-\|\vec{w}\| vale quando \vec{w} é um múltiplo não negativo de \vec{u} com \|\vec{w}\|\le\|\vec{u}\|.

Resposta

A igualdade \|\vec{u}+\vec{v}\|=\|\vec{u}\|+\|\vec{v}\| não vale em geral, apenas quando \vec{u} e \vec{v} são paralelos e apontam no mesmo sentido.
A igualdade \|\vec{u}-\vec{w}\|=\|\vec{u}\|-\|\vec{w}\| não vale em geral, apenas quando \vec{w} é paralelo a \vec{u}, aponta no mesmo sentido e \|\vec{w}\|\le\|\vec{u}\|.

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