Prove que:
Seja
. Se
e
são de mesmo sentido, então
; se são de sentido contrário,
;
Seja
Passo 1
O enunciado diz que
e
são colineares, pois
para algum escalar
. Queremos mostrar que esse
pode ser expresso em termos das normas de
e
, e que o seu sinal decide se os vetores têm o mesmo sentido ou sentidos opostos. Para isso, vamos usar a propriedade fundamental da norma de um múltiplo escalar:
Passo 2
Aplicando norma na igualdade
, temos
Desse modo obtemos a relação
Passo 3
Sabendo que
é sempre não negativo, concluímos que
Agora basta observar:
- Se
e têm o mesmo sentido, então , ou seja, . - Se têm sentido contrário, então
, ou seja, .
Passo 4
Substituindo
na expressão original
, obtemos:
- Caso mesmo sentido:
- Caso sentido contrário:
Resposta
Se
e
têm o mesmo sentido, então
Se têm sentido contrário, então