Prove que:
Seja \vec{u}=\lambda \vec{v}. Se \vec{u} e \vec{v} são de mesmo sentido, então \vec{u}=\frac{\|\vec{u}\|}{\|\vec{v}\|} \vec{v}; se são de sentido contrário, \vec{u}=-\frac{\|\vec{u}\|}{\|\vec{v}\|} \vec{v};

Passo 1

O enunciado diz que \vec u e \vec v são colineares, pois \vec u = \lambda\,\vec v para algum escalar \lambda. Queremos mostrar que esse \lambda pode ser expresso em termos das normas de \vec u e \vec v, e que o seu sinal decide se os vetores têm o mesmo sentido ou sentidos opostos. Para isso, vamos usar a propriedade fundamental da norma de um múltiplo escalar:
\|\lambda\,\vec v\| = |\lambda|\,\|\vec v\|.

Passo 2

Aplicando norma na igualdade \vec u = \lambda\,\vec v, temos
\|\vec u\| = \|\lambda\,\vec v\| = |\lambda|\,\|\vec v\|.
Desse modo obtemos a relação
|\lambda| = \frac{\|\vec u\|}{\|\vec v\|}.

Passo 3

Sabendo que |\lambda| é sempre não negativo, concluímos que
\lambda = \pm \frac{\|\vec u\|}{\|\vec v\|}.
Agora basta observar:
  • Se \vec u e \vec v têm o mesmo sentido, então \lambda>0, ou seja, \lambda = +\frac{\|\vec u\|}{\|\vec v\|}.
  • Se têm sentido contrário, então \lambda<0, ou seja, \lambda = -\frac{\|\vec u\|}{\|\vec v\|}.

Passo 4

Substituindo \lambda na expressão original \vec u = \lambda\,\vec v, obtemos:
  • Caso mesmo sentido:
\vec u = \frac{\|\vec u\|}{\|\vec v\|}\,\vec v.
  • Caso sentido contrário:
\vec u = -\,\frac{\|\vec u\|}{\|\vec v\|}\,\vec v.

Resposta

Se \vec u e \vec v têm o mesmo sentido, então
\vec u = \frac{\|\vec u\|}{\|\vec v\|}\,\vec v.
Se têm sentido contrário, então
\vec u = -\,\frac{\|\vec u\|}{\|\vec v\|}\,\vec v.

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