Sejam A e B pontos distintos. Mostre que o ponto X pertence à reta A B se, e somente se, existe \lambda real tal que \overrightarrow{A X}=\lambda \overrightarrow{A B}.

Passo 1

O enunciado diz que, dados dois pontos distintos A e B, queremos caracterizar a reta que passa por eles em termos de vetores. Lembrando que a reta AB pode ser descrita pelo conjunto
\{\,A + t\,(B - A)\mid t\in\mathbb{R}\},
já que B-A é um vetor diretor dessa reta. Vamos mostrar que outro ponto X pertence a essa reta se, e somente se, o vetor \overrightarrow{AX} é múltiplo real de \overrightarrow{AB}.

Passo 2

(⇒) Suponha que X pertence à reta AB.
Isso significa que existe t\in\mathbb{R} tal que
X = A + t\,(B - A).
Subtraindo o ponto A de ambos os lados, obtemos
\overrightarrow{AX} = X - A = t\,(B - A) = t\,\overrightarrow{AB}.
Basta, então, escolher \lambda = t para concluir que \overrightarrow{AX}=\lambda\,\overrightarrow{AB}.

Passo 3

(⇐) Agora suponha que existe \lambda\in\mathbb{R} tal que
\overrightarrow{AX} = \lambda\,\overrightarrow{AB}.
Pela definição de vetor, isso é
X - A = \lambda\,(B - A),
ou seja,
X = A + \lambda\,(B - A).
Mas essa é exatamente a forma paramétrica de um ponto na reta AB. Logo X pertence à reta.

Passo 4

Como mostramos ambas as implicações, concluímos a equivalência desejada.

Resposta

O ponto X pertence à reta AB se, e somente se, existe \lambda\in\mathbb{R} tal que
\overrightarrow{AX}=\lambda\,\overrightarrow{AB}.

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