3. (vale 1,0 ponto)

Óleo escoa sobre uma placa plana retangular, de lados 2 por 20 m . A temperatura da placa é de 80^{\circ} \mathrm{C}, e a temperatura do dlo na regilo de entrada da placa é de 20^{\circ} \mathrm{C}. A velocidade do escoamento é de 5 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. Pede-se determinar a taxa de troca de calor.

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede (vou deixar bem claro para você se localizar):
  • Dimensões da placa: os lados são 2 m e 20 m.
  • Temperatura da placa (superfície): T_s = 80^\circ\mathrm{C}.
  • Temperatura do óleo na região de entrada (temperatura do escoamento distante da placa): T_\infty = 20^\circ\mathrm{C}.
  • Velocidade do escoamento (velocidade livre): U_\infty = 5\\ \mathrm{m/s}.
  • O que pedem: determinar a taxa de troca de calor (potência térmica transferida da placa para o óleo), isto é \dot{Q}.
Informações relevantes destacadas:
  • Área da placa que fica em contato com o escoamento: A = (\text{largura})\times(\text{comprimento}) = 2\times20\\ \mathrm{m^2}.
  • Falta informação essencial para um cálculo numérico preciso: propriedades do óleo (densidade \rho, viscosidade dinâmica \mu ou cinemática \nu, condutividade térmica k, calor específico c_p) avaliadas em uma temperatura adequada. Sem essas propriedades não dá para calcular numericamente o coeficiente convectivo h e, portanto, não dá para obter \dot{Q} exato.

Passo 2

O plano de ataque (o que vamos fazer, em linguagem simples):
  • Em escoamento sobre uma placa plana, a taxa de troca de calor por convecção é dada por
\dot{Q} = h\,A\,(T_s - T_\infty),
onde h é o coeficiente convectivo médio sobre a área considerada. Então precisamos de A (já temos) e de h.
  • Para obter h em escoamento externo sobre placa plana com temperatura de superfície uniforme, usamos correlações de Nusselt que dependem de Re (número de Reynolds) e Pr (número de Prandtl). Logo precisamos das propriedades do óleo para calcular Re e Pr.
  • Vou explicar passo a passo como obter h a partir das propriedades e das correlações usuais. Depois mostro um exemplo numérico aproximado assumindo propriedades típicas de um óleo leve (vou explicitar essas suposições).

Passo 3

Fórmulas e conceitos que vamos usar (aulas rápidas e intuitivas):
  • Definição de área: a placa tem dimensão 2\times20, logo
A = 2\cdot20 = 40\\ \mathrm{m^2}.
  • Fórmula de troca por convecção (controle simples):
\dot{Q} = h\,A\,(T_s - T_\infty).
Expliquei: h mede a facilidade com que o calor sai da superfície para o fluido; A é a área; (T_s-T_\infty) é o gradiente térmico que impulsiona a troca.
  • Número de Reynolds com comprimento característico L (normalmente o comprimento no sentido do escoamento, aqui L=20\\ \mathrm{m}):
\mathrm{Re}_L = \frac{\rho\,U_\infty\,L}{\mu} = \frac{U_\infty L}{\nu},
onde \nu=\mu/\rho é a viscosidade cinemática. Interpretação prática: \mathrm{Re} diz se o escoamento sobre a placa será laminar ou turbulento.
  • Número de Prandtl:
\mathrm{Pr} = \frac{\nu}{\alpha} = \frac{c_p\,\mu}{k} = \frac{\mu c_p}{k},
onde \alpha = k/(\rho c_p) é difusividade térmica. \mathrm{Pr} diz a relação entre difusão de quantidade de movimento e difusão térmica.
  • Correlações usuais (placa plana, superfície com temperatura uniforme):
    • Regime laminar (para toda placa laminar) média de Nusselt:
    \overline{\mathrm{Nu}}_L = 0{,}664\,\mathrm{Re}_L^{1/2}\,\mathrm{Pr}^{1/3}.
    • Regime turbulento (para 5\times10^5 \lesssim \mathrm{Re}_x \lesssim 10^7; média ao longo de L):
    \overline{\mathrm{Nu}}_L = 0{,}037\,\mathrm{Re}_L^{4/5}\,\mathrm{Pr}^{1/3}.
    • Se há transição (parte laminar e parte turbulenta) usa-se correlação composta (por exemplo, usar \mathrm{Re}_{x_c}\approx5\times10^5 como ponto de transição e tratar as contribuições); mas o procedimento padrão é calcular \mathrm{Re}_L e comparar com 5\times10^5 para ter uma ideia do regime dominante.
  • Relação entre Nusselt e h:
h = \frac{\overline{\mathrm{Nu}}_L\,k}{L}.
Explicando: \overline{\mathrm{Nu}}_L é adimensional; multiplicando por k/L obtém-se h nas unidades corretas.

Passo 4

Dados que faltam e por que são essenciais:
  • Para calcular \mathrm{Re}_L e \mathrm{Pr} é preciso conhecer pelo menos dois conjuntos de propriedades do óleo (em temperatura de filme): \rho, \mu (ou \nu), k e c_p. Normalmente usa-se a temperatura de filme
T_f = \frac{T_s + T_\infty}{2} = \frac{80 + 20}{2} = 50^\circ\mathrm{C}
e toma-se as propriedades do óleo a T_f. Sem esses números não é possível obter h de forma numérica precisa.
  • Portanto: rigorosamente, com os dados do enunciado sozinho não se pode dar um valor numérico único para \dot{Q}. Vou, porém, mostrar o procedimento completo e depois fazer um cálculo de estimativa baseado em propriedades típicas de um óleo leve à 50^\circ\mathrm{C} (vou explicitar essas suposições).

Passo 5

Procedimento detalhado para resolver (passo a passo que você faria na prova se te derem as propriedades):
  1. Calcular A:
A = 2\times 20 = 40\\ \mathrm{m^2}.
  1. Calcular T_f e pegar propriedades do óleo ( \rho,\\ \mu,\\ k,\\ c_p) à T_f.
  2. Calcular \nu=\mu/\rho, então
\mathrm{Re}_L = \dfrac{U_\infty L}{\nu}.
  1. Calcular \mathrm{Pr} = \dfrac{\mu c_p}{k}.
  2. Determinar o regime:
    • Se \mathrm{Re}_L < 5\times10^5 fluxo laminar → usar \overline{\mathrm{Nu}}_L = 0{,}664\,\mathrm{Re}_L^{1/2}\,\mathrm{Pr}^{1/3}.
    • Se \mathrm{Re}_L \gg 5\times10^5 fluxo turbulento → usar \overline{\mathrm{Nu}}_L = 0{,}037\,\mathrm{Re}_L^{4/5}\,\mathrm{Pr}^{1/3}.
    • Se em transição, usar correlações compostas (ou calcular contribuição laminar até x_c e turbulenta depois).
  3. Calcular h = \dfrac{\overline{\mathrm{Nu}}_L\,k}{L}.
  4. Finalmente, calcular
\dot{Q} = h\,A\,(T_s - T_\infty).

Passo 6

Exemplo numérico aproximado (vou assumir propriedades típicas de um óleo leve a T_f=50^\circ\mathrm{C}; isto é apenas uma estimativa para você ter número de referência):
Assumir (valores típicos, explícitos):
  • \rho = 850\\ \mathrm{kg/m^3} (densidade),
  • \mu = 0{,}01\\ \mathrm{Pa\cdot s} (viscosidade dinâmica), portanto \nu=\mu/\rho = \dfrac{0{,}01}{850}=1{,}176\times10^{-5}\\ \mathrm{m^2/s},
  • k = 0{,}13\\ \mathrm{W/(m\cdot K)} (condutividade térmica),
  • c_p = 2000\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)} (calor específico).
Agora calcular passo a passo com essas suposições:
  1. Área (já feita):
A = 40\\ \mathrm{m^2}.
  1. Reynolds baseado em L=20\\ \mathrm{m}:
\mathrm{Re}_L = \frac{U_\infty L}{\nu} = \frac{5\cdot 20}{1{,}176\times10^{-5}} = \frac{100}{1{,}176\times10^{-5}} \approx 8{,}47\times 10^{6}.
Esse \mathrm{Re}_L é muito maior que 5\times10^5, logo o escoamento está no regime turbulento sobre a maior parte do comprimento.
  1. Prandtl:
\mathrm{Pr} = \frac{\mu c_p}{k} = \frac{0{,}01\cdot 2000}{0{,}13} = \frac{20}{0{,}13} \approx 153{,}8.
  1. Usamos a correlação turbulenta média:
\overline{\mathrm{Nu}}_L = 0{,}037\,\mathrm{Re}_L^{4/5}\,\mathrm{Pr}^{1/3}.
Calculemos em passos (valor aproximado):
  • \mathrm{Re}_L^{4/5}\approx (8{,}47\times10^{6})^{0{,}8}\approx 3{,}51\times10^{5}.
  • \mathrm{Pr}^{1/3}\approx (153{,}8)^{1/3}\approx 5{,}35.
  • Logo
\overline{\mathrm{Nu}}_L \approx 0{,}037\times 3{,}51\times10^{5}\times 5{,}35 \approx 6{,}96\times10^{4}.
  1. Coeficiente convectivo médio:
h = \frac{\overline{\mathrm{Nu}}_L\,k}{L} = \frac{6{,}96\times10^{4}\times 0{,}13}{20} \approx 452{,}4\\ \mathrm{W/(m^2\cdot K)}.
  1. Taxa de troca de calor:
\dot{Q} = h\,A\,(T_s - T_\infty) = 452{,}4\times 40 \times (80-20) = 452{,}4\times 40 \times 60 = 452{,}4\times 2400 \approx 1{,}085{,}8\times10^{6}\\ \mathrm{W}.
Interpretação e comentário amigo: esse valor dá cerca de 1{,}09\\ \mathrm{MW} para as suposições feitas. É um número grande porque a placa é grande ( 40\\ \mathrm{m^2}) e a diferença de temperatura é expressiva ( 60\\ \mathrm{K}); além disso, com as propriedades assumidas o número de Reynolds é alto e a correlação dá um coeficiente convectivo bastante elevado.

Passo 7

Resumo do que você deve colocar na prova (resumido e direto):
  • Escreva A = 40\\ \mathrm{m^2}.
  • Peça as propriedades do óleo a T_f=50^\circ\mathrm{C}: \rho,\\ \mu,\\ k,\\ c_p.
  • Calcule \mathrm{Re}_L e \mathrm{Pr}. Decida o regime.
  • Use a correlação apropriada para \overline{\mathrm{Nu}}_L.
  • Calcule h=\overline{\mathrm{Nu}}_L k / L.
  • Calcule \dot{Q}=hA(T_s-T_\infty).
Dica final amiga: se o enunciado da prova não fornecer propriedades do óleo, escreva no começo “propriedades do óleo não fornecidas; cálculo segue em função das propriedades” e depois proceda simbolicamente — isso mostra que você sabe o método e identifica claramente o que falta.

Resposta

Não é possível determinar numericamente \dot{Q} sem as propriedades do óleo ( \rho,\\ \mu,\\ k,\\ c_p) avaliadas à temperatura de filme.
Exemplo aproximado com propriedades típicas assumidas: \displaystyle \dot{Q}\approx 1{,}09\times10^{6}\\ \mathrm{W}.

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