Óleo escoa sobre uma placa plana retangular, de lados 2 por 20 m . A temperatura da placa é de 80^{\circ} \mathrm{C}, e a temperatura do dlo na regilo de entrada da placa é de 20^{\circ} \mathrm{C}. A velocidade do escoamento é de 5 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. Pede-se determinar a taxa de troca de calor.
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede (vou deixar bem claro para você se localizar):
Dimensões da placa: os lados são 2 m e 20 m.
Temperatura da placa (superfície): T_s = 80^\circ\mathrm{C}.
Temperatura do óleo na região de entrada (temperatura do escoamento distante da placa): T_\infty = 20^\circ\mathrm{C}.
Velocidade do escoamento (velocidade livre): U_\infty = 5\\ \mathrm{m/s}.
O que pedem: determinar a taxa de troca de calor (potência térmica transferida da placa para o óleo), isto é \dot{Q}.
Informações relevantes destacadas:
Área da placa que fica em contato com o escoamento: A = (\text{largura})\times(\text{comprimento}) = 2\times20\\ \mathrm{m^2}.
Falta informação essencial para um cálculo numérico preciso: propriedades do óleo (densidade \rho, viscosidade dinâmica \mu ou cinemática \nu, condutividade térmica k, calor específico c_p) avaliadas em uma temperatura adequada. Sem essas propriedades não dá para calcular numericamente o coeficiente convectivo h e, portanto, não dá para obter \dot{Q} exato.
Passo 2
O plano de ataque (o que vamos fazer, em linguagem simples):
Em escoamento sobre uma placa plana, a taxa de troca de calor por convecção é dada por
\dot{Q} = h\,A\,(T_s - T_\infty),
onde h é o coeficiente convectivo médio sobre a área considerada. Então precisamos de A (já temos) e de h.
Para obter h em escoamento externo sobre placa plana com temperatura de superfície uniforme, usamos correlações de Nusselt que dependem de Re (número de Reynolds) e Pr (número de Prandtl). Logo precisamos das propriedades do óleo para calcular Re e Pr.
Vou explicar passo a passo como obter h a partir das propriedades e das correlações usuais. Depois mostro um exemplo numérico aproximado assumindo propriedades típicas de um óleo leve (vou explicitar essas suposições).
Passo 3
Fórmulas e conceitos que vamos usar (aulas rápidas e intuitivas):
Definição de área: a placa tem dimensão 2\times20, logo
A = 2\cdot20 = 40\\ \mathrm{m^2}.
Fórmula de troca por convecção (controle simples):
\dot{Q} = h\,A\,(T_s - T_\infty).
Expliquei: h mede a facilidade com que o calor sai da superfície para o fluido; A é a área; (T_s-T_\infty) é o gradiente térmico que impulsiona a troca.
Número de Reynolds com comprimento característico L (normalmente o comprimento no sentido do escoamento, aqui L=20\\ \mathrm{m}):
Se há transição (parte laminar e parte turbulenta) usa-se correlação composta (por exemplo, usar \mathrm{Re}_{x_c}\approx5\times10^5 como ponto de transição e tratar as contribuições); mas o procedimento padrão é calcular \mathrm{Re}_L e comparar com 5\times10^5 para ter uma ideia do regime dominante.
Relação entre Nusselt e h:
h = \frac{\overline{\mathrm{Nu}}_L\,k}{L}.
Explicando: \overline{\mathrm{Nu}}_L é adimensional; multiplicando por k/L obtém-se h nas unidades corretas.
Passo 4
Dados que faltam e por que são essenciais:
Para calcular \mathrm{Re}_L e \mathrm{Pr} é preciso conhecer pelo menos dois conjuntos de propriedades do óleo (em temperatura de filme): \rho, \mu (ou \nu), k e c_p. Normalmente usa-se a temperatura de filme
e toma-se as propriedades do óleo a T_f. Sem esses números não é possível obter h de forma numérica precisa.
Portanto: rigorosamente, com os dados do enunciado sozinho não se pode dar um valor numérico único para \dot{Q}. Vou, porém, mostrar o procedimento completo e depois fazer um cálculo de estimativa baseado em propriedades típicas de um óleo leve à 50^\circ\mathrm{C} (vou explicitar essas suposições).
Passo 5
Procedimento detalhado para resolver (passo a passo que você faria na prova se te derem as propriedades):
Calcular A:
A = 2\times 20 = 40\\ \mathrm{m^2}.
Calcular T_f e pegar propriedades do óleo (\rho,\\ \mu,\\ k,\\ c_p) à T_f.
Se em transição, usar correlações compostas (ou calcular contribuição laminar até x_c e turbulenta depois).
Calcular h = \dfrac{\overline{\mathrm{Nu}}_L\,k}{L}.
Finalmente, calcular
\dot{Q} = h\,A\,(T_s - T_\infty).
Passo 6
Exemplo numérico aproximado (vou assumir propriedades típicas de um óleo leve a T_f=50^\circ\mathrm{C}; isto é apenas uma estimativa para você ter número de referência):
Assumir (valores típicos, explícitos):
Interpretação e comentário amigo: esse valor dá cerca de 1{,}09\\ \mathrm{MW} para as suposições feitas. É um número grande porque a placa é grande (40\\ \mathrm{m^2}) e a diferença de temperatura é expressiva (60\\ \mathrm{K}); além disso, com as propriedades assumidas o número de Reynolds é alto e a correlação dá um coeficiente convectivo bastante elevado.
Passo 7
Resumo do que você deve colocar na prova (resumido e direto):
Escreva A = 40\\ \mathrm{m^2}.
Peça as propriedades do óleo a T_f=50^\circ\mathrm{C}: \rho,\\ \mu,\\ k,\\ c_p.
Calcule \mathrm{Re}_L e \mathrm{Pr}. Decida o regime.
Use a correlação apropriada para \overline{\mathrm{Nu}}_L.
Calcule h=\overline{\mathrm{Nu}}_L k / L.
Calcule \dot{Q}=hA(T_s-T_\infty).
Dica final amiga: se o enunciado da prova não fornecer propriedades do óleo, escreva no começo “propriedades do óleo não fornecidas; cálculo segue em função das propriedades” e depois proceda simbolicamente — isso mostra que você sabe o método e identifica claramente o que falta.
Resposta
Não é possível determinar numericamente \dot{Q} sem as propriedades do óleo (\rho,\\ \mu,\\ k,\\ c_p) avaliadas à temperatura de filme.
Exemplo aproximado com propriedades típicas assumidas: \displaystyle \dot{Q}\approx 1{,}09\times10^{6}\\ \mathrm{W}.