1. (3.5) Um tubo de 0,9 \mathrm{~m} de diâmetro se divide em dois tubos de 0,45 \mathrm{~m} de diâmetro a uma altitude de 100,0 \mathrm{~m}. Estes tubos de 0,45 \mathrm{~m} se dirigem para reservatórios cujas superficies em níveis constantes possuem altitudes 90,0 \mathrm{~m} e 60,0 \mathrm{~m}, sendo que seus comprimentos são, respectivamente, 3,2 \mathrm{~km} e 4,8 \mathrm{~km}. Quando a vazão na linha de 0,9 \mathrm{~m} for igual a 0,76 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{s}, como se subdividirá o escoamento pelos trechos de 0,45 \mathrm{~m} ? E qual é a carga de pressão no ponto de bifurcação? Suponha f=0,017 para todos os tubos e despreze perdas localizadas e cargas cinéticas.

Passo 1

Vamos organizar direitinho o que o enunciado pede e quais são os dados que temos.
Perguntas do enunciado:
  • Como se subdividirá o escoamento total \,Q_{\rm total}=0{,}76\\ \mathrm{m^3/s}\, entre os dois ramos de diâmetro 0{,}45\\ \mathrm{m}? Ou seja, achar Q_1 e Q_2 tais que Q_1+Q_2=Q_{\rm total}.
  • Qual é a carga de pressão no ponto de bifurcação (isto é, a carga de pressão p/(\rho g) naquele ponto)?
Dados fornecidos (peguei todos do enunciado):
  • Diâmetro do tubo principal (antes da bifurcação): 0{,}9\\ \mathrm{m} (não usado diretamente na subdivisão, pois as perdas nas partes anteriores não são pedidas).
  • Diâmetro de cada ramo: D=0{,}45\\ \mathrm{m}.
  • Altitude do ponto de bifurcação: z_j=100{,}0\\ \mathrm{m}.
  • Reservatório 1 (ramo 1): superfície com altitude z_1=90{,}0\\ \mathrm{m}, comprimento do tubo L_1=3{,}200\\ \mathrm{m}.
  • Reservatório 2 (ramo 2): superfície com altitude z_2=60{,}0\\ \mathrm{m}, comprimento do tubo L_2=4{,}800\\ \mathrm{m}.
  • Vazão total na linha antes da bifurcação: Q_{\rm total}=0{,}76\\ \mathrm{m^3/s}.
  • Fator de atrito de Darcy: f=0{,}017 (mesmo para todos os tubos).
  • Desprezar perdas localizadas e cargas cinéticas (interpreto como desprezar o termo de velocidade nas superfícies do reservatório comparado com as perdas de atrito; manteremos as perdas por atrito via Darcy–Weisbach).

Passo 2

Idea geral e formulação física (sem números ainda).
Para cada ramo i (i=1,2) aplicamos a equação de energia entre a superfície livre do reservatório i e o ponto de bifurcação. Negligenciando mudanças de carga cinética nas superfícies e perdas locais, a carga total no ponto de bifurcação H_j é igual à altitude da superfície do reservatório z_i mais a perda por atrito h_{f,i} ao longo do ramo:
H_j = z_i + h_{f,i},\quad i=1,2.
Como H_j é comum aos dois ramos, obtemos
z_1 + h_{f,1} = z_2 + h_{f,2}.
A perda por atrito pelo modelo de Darcy–Weisbach é
h_{f,i} = f\frac{L_i}{D}\cdot\frac{v_i^2}{2g},
onde v_i é a velocidade média no ramo i. Relação entre velocidade e vazão:
v_i=\frac{Q_i}{A},\qquad A=\frac{\pi D^2}{4}.
Substituindo v_i em h_{f,i} temos uma forma útil
h_{f,i} = \underbrace{\frac{f}{D}\cdot\frac{1}{2gA^2}}_{C}\;L_i\;Q_i^2 = C\,L_i\,Q_i^2.
Portanto a equação entre os ramos fica
z_1 + C L_1 Q_1^2 = z_2 + C L_2 Q_2^2.
E a conservação de massa impõe
Q_1 + Q_2 = Q_{\rm total}.
Temos assim três incógnitas Q_1,Q_2,H_j e três equações (duas escritas acima e a definição de H_j), o sistema é determinístico.

Passo 3

Calcular a área da seção A e a constante C explicitamente (cada passo explicado).
Área da seção (mesma para ambos os ramos):
A=\frac{\pi D^2}{4}=\frac{\pi(0{,}45)^2}{4}.
Calculemos:
(0{,}45)^2=0{,}2025,\qquad \pi\cdot0{,}2025=0{,}636173\ldots,
A=\frac{0{,}636173\ldots}{4}=0{,}159043\\ \mathrm{m^2}\\ \text{(aprox.)}.
A constante C é
C=\frac{f}{D}\cdot\frac{1}{2gA^2}.
Agora os valores numéricos: f=0{,}017, D=0{,}45\\ \mathrm{m}, g=9{,}81\\ \mathrm{m/s^2}, A=0{,}159043\\ \mathrm{m^2}.
Primeiro A^2=(0{,}159043)^2=0{,}0252958\\ \mathrm{m^4}.
Então
2gA^2=2\cdot9{,}81\cdot0{,}0252958=19{,}62\cdot0{,}0252958=0{,}496301\\ (\text{unidades } \mathrm{m^3/s^2}).
Multiplicando por D:
D\cdot 2gA^2 = 0{,}45\cdot 0{,}496301 = 0{,}2233355.
Finalmente
C=\frac{0{,}017}{0{,}2233355}=0{,}0761608\\ \mathrm{(m^{-1}\,s^2/m^6)}\\ \text{(número para usar em }h_f=C L Q^2).ú
Observação: unidades de C ficam tais que C L Q^2 dá metros de carga.

Passo 4

Escrever explicitamente as equações com C e os comprimentos numéricos; eliminar H_j.
Usando h_{f,i}=C L_i Q_i^2 as duas equações de energia dão:
z_1 + C L_1 Q_1^2 = z_2 + C L_2 Q_2^2.
Substituindo os números z_1=90, z_2=60, L_1=3200, L_2=4800, obtemos
90 + C\cdot 3200\;Q_1^2 = 60 + C\cdot 4800\;Q_2^2.
Rearranjando:
C\cdot 3200\;Q_1^2 - C\cdot 4800\;Q_2^2 = -30.
Como C\neq0 podemos dividir tudo por C ou manter C e substituir Q_2=Q_{\rm total}-Q_1. Vou substituir Q_2=0{,}76-Q_1 para obter uma equação apenas em Q_1:
3200\,Q_1^2 - 4800\,(0{,}76-Q_1)^2 = -\frac{30}{C}.
Para evitar dividir por C repetidamente, é prático multiplicar desde o início e calcular os coeficientes numéricos usando C. Vamos calcular os coeficientes diretos:
C\cdot 3200 = 3200\times 0{,}0761608 = 243{,}7146,
C\cdot 4800 = 4800\times 0{,}0761608 = 365{,}5719.
Portanto a equação com Q_1 (substituindo Q_2=0{,}76-Q_1) é:
243{,}7146\;Q_1^2 - 365{,}5719\;(0{,}76-Q_1)^2 = -30.

Passo 5

Expandir a equação em Q_1 e formar a quadrática; mostrar cada coeficiente numérico.
Expansão:
243{,}7146\,Q_1^2 - 365{,}5719\big(0{,}76^2 -2\cdot0{,}76\,Q_1 + Q_1^2\big) +30 = 0
(observou-se o +30 movendo -30 para o outro lado).
Calcule 0{,}76^2=0{,}5776. Então:
243{,}7146\,Q_1^2 -365{,}5719\cdot0{,}5776 +365{,}5719\cdot1{,}52\,Q_1 -365{,}5719\,Q_1^2 +30 =0.
Agrupando termos Q_1^2, Q_1 e constantes:
(243{,}7146-365{,}5719)\,Q_1^2 + 365{,}5719\cdot1{,}52\,Q_1 +\big(30-365{,}5719\cdot0{,}5776\big)=0.
Calculemos numericamente cada coeficiente:
243{,}7146-365{,}5719 = -121{,}8573.
365{,}5719\cdot1{,}52 = 555{,}6693.
365{,}5719\cdot0{,}5776 = 211{,}1316\quad\Rightarrow\quad 30-211{,}1316 = -181{,}1316.
Assim a quadrática é
-121{,}8573\,Q_1^2 +555{,}6693\,Q_1 -181{,}1316 =0.
Multiplicando por -1 para facilitar a solução:
121{,}8573\,Q_1^2 -555{,}6693\,Q_1 +181{,}1316 =0.

Passo 6

Resolver a equação quadrática para Q_1; escolha da raiz fisicamente aceitável.
Fórmula de Bhaskara:
Q_1 = \frac{555{,}6693\pm\sqrt{555{,}6693^2 - 4\cdot121{,}8573\cdot181{,}1316}}{2\cdot121{,}8573}.
Calculemos o discriminante:
\Delta = 555{,}6693^2 - 4\cdot121{,}8573\cdot181{,}1316 \approx 220{,}479{,}5
\sqrt{\Delta}\approx 469{,}553.
Logo as duas raízes são
Q_{1a}=\frac{555{,}6693+469{,}553}{243{,}7146}\approx \frac{1{,}025{,}222}{243{,}7146}\approx 4{,}21\\ \mathrm{m^3/s}\\ (\text{impossível, maior que }Q_{\rm total}),í
Q_{1b}=\frac{555{,}6693-469{,}553}{243{,}7146}\approx \frac{86{,}1163}{243{,}7146}\approx 0{,}3536\\ \mathrm{m^3/s}.
A raiz fisicamente válida é Q_{1}=0{,}3536\\ \mathrm{m^3/s} (a outra excede a vazão total e é descartada). Então
Q_2 = Q_{\rm total}-Q_1 = 0{,}76 - 0{,}3536 = 0{,}4064\\ \mathrm{m^3/s}.
(Arredondarei na resposta final para três algarismos significativos, mas mantenho estes valores intermediários para verificação.)

Passo 7

Calcular a carga total no ponto de bifurcação H_j e a carga de pressão p/(\rho g) nesse ponto.
Usando a equação H_j = z_1 + h_{f,1} com h_{f,1}=C L_1 Q_1^2:
h_{f,1} = 243{,}7146\cdot (0{,}3536)^2.
Calcule Q_1^2=(0{,}3536)^2=0{,}1250 (aprox.). Então
h_{f,1}\approx 243{,}7146\times0{,}1250 = 30{,}464\\ \mathrm{m}.
Portanto
H_j = z_1 + h_{f,1} = 90{,}0 + 30{,}464 = 120{,}464\\ \mathrm{m}.
Verificação via o ramo 2:
h_{f,2}=365{,}5719\cdot(0{,}4064)^2\approx 365{,}5719\times0{,}1652=60{,}465\\ \mathrm{m},
z_2 + h_{f,2} = 60{,}0 + 60{,}465 = 120{,}465\\ \mathrm{m},
igual (dentro de pequenos arredondamentos) a H_j, como deve ser.
Agora a carga de pressão no ponto de bifurcação é a diferença entre H_j e a altitude z_j (já que desprezamos velocidade naquele ponto):
\frac{p_j}{\rho g} = H_j - z_j = 120{,}464 - 100{,}0 = 20{,}464\\ \mathrm{m}.

Resposta

Q_1 = 0{,}354\\ \mathrm{m^3/s}
Q_2 = 0{,}406\\ \mathrm{m^3/s}
\displaystyle \frac{p_j}{\rho g} = 20{,}46\\ \mathrm{m}

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