(3.5) Um tubo de 0,9 \mathrm{~m} de diâmetro se divide em dois tubos de 0,45 \mathrm{~m} de diâmetro a uma altitude de 100,0 \mathrm{~m}. Estes tubos de 0,45 \mathrm{~m} se dirigem para reservatórios cujas superficies em níveis constantes possuem altitudes 90,0 \mathrm{~m} e 60,0 \mathrm{~m}, sendo que seus comprimentos são, respectivamente, 3,2 \mathrm{~km} e 4,8 \mathrm{~km}. Quando a vazão na linha de 0,9 \mathrm{~m} for igual a 0,76 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{s}, como se subdividirá o escoamento pelos trechos de 0,45 \mathrm{~m} ? E qual é a carga de pressão no ponto de bifurcação? Suponha f=0,017 para todos os tubos e despreze perdas localizadas e cargas cinéticas.
Passo 1
Vamos organizar direitinho o que o enunciado pede e quais são os dados que temos.
Perguntas do enunciado:
Como se subdividirá o escoamento total \,Q_{\rm total}=0{,}76\\ \mathrm{m^3/s}\, entre os dois ramos de diâmetro 0{,}45\\ \mathrm{m}? Ou seja, achar Q_1 e Q_2 tais que Q_1+Q_2=Q_{\rm total}.
Qual é a carga de pressão no ponto de bifurcação (isto é, a carga de pressão p/(\rho g) naquele ponto)?
Dados fornecidos (peguei todos do enunciado):
Diâmetro do tubo principal (antes da bifurcação): 0{,}9\\ \mathrm{m} (não usado diretamente na subdivisão, pois as perdas nas partes anteriores não são pedidas).
Diâmetro de cada ramo: D=0{,}45\\ \mathrm{m}.
Altitude do ponto de bifurcação: z_j=100{,}0\\ \mathrm{m}.
Reservatório 1 (ramo 1): superfície com altitude z_1=90{,}0\\ \mathrm{m}, comprimento do tubo L_1=3{,}200\\ \mathrm{m}.
Reservatório 2 (ramo 2): superfície com altitude z_2=60{,}0\\ \mathrm{m}, comprimento do tubo L_2=4{,}800\\ \mathrm{m}.
Vazão total na linha antes da bifurcação: Q_{\rm total}=0{,}76\\ \mathrm{m^3/s}.
Fator de atrito de Darcy: f=0{,}017 (mesmo para todos os tubos).
Desprezar perdas localizadas e cargas cinéticas (interpreto como desprezar o termo de velocidade nas superfícies do reservatório comparado com as perdas de atrito; manteremos as perdas por atrito via Darcy–Weisbach).
Passo 2
Idea geral e formulação física (sem números ainda).
Para cada ramo i (i=1,2) aplicamos a equação de energia entre a superfície livre do reservatório i e o ponto de bifurcação. Negligenciando mudanças de carga cinética nas superfícies e perdas locais, a carga total no ponto de bifurcação H_j é igual à altitude da superfície do reservatório z_i mais a perda por atrito h_{f,i} ao longo do ramo:
H_j = z_i + h_{f,i},\quad i=1,2.
Como H_j é comum aos dois ramos, obtemos
z_1 + h_{f,1} = z_2 + h_{f,2}.
A perda por atrito pelo modelo de Darcy–Weisbach é
h_{f,i} = f\frac{L_i}{D}\cdot\frac{v_i^2}{2g},
onde v_i é a velocidade média no ramo i. Relação entre velocidade e vazão:
Agora os valores numéricos: f=0{,}017, D=0{,}45\\ \mathrm{m}, g=9{,}81\\ \mathrm{m/s^2}, A=0{,}159043\\ \mathrm{m^2}.
Primeiro A^2=(0{,}159043)^2=0{,}0252958\\ \mathrm{m^4}.
Então
Como C\neq0 podemos dividir tudo por C ou manter C e substituir Q_2=Q_{\rm total}-Q_1. Vou substituir Q_2=0{,}76-Q_1 para obter uma equação apenas em Q_1:
Para evitar dividir por C repetidamente, é prático multiplicar desde o início e calcular os coeficientes numéricos usando C. Vamos calcular os coeficientes diretos:
Q_{1a}=\frac{555{,}6693+469{,}553}{243{,}7146}\approx \frac{1{,}025{,}222}{243{,}7146}\approx 4{,}21\\ \mathrm{m^3/s}\\ (\text{impossível, maior que }Q_{\rm total}),í