1. (3,0) Entre dois reservatórios mantidos em níveis constantes escoa uma vazão de 0,214 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{s} por uma tubulação de ferro fundido novo, com rugosidade absoluta de 0,25 \mathrm{~mm}, diâmetro 300 mm e comprimento de 1000 m . Determine o acréscimo ou decréscimo percentual de vazão, caso toda tubulação de ferro fundido seja substituída por uma tubulação de PVC com rugosidade absoluta de 0,0015 \mathrm{~mm}. Considere a água a 20^{\circ} \mathrm{C}, com viscosidade cinemática 1,0 \times 10^{-6} \mathrm{~m}^{2} / \mathrm{s}.

Passo 1

O enunciado fornece os seguintes dados (todos os números abaixo foram fornecidos no problema):
  • Vazão inicial: Q_0 = 0,214\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{s}.
  • Tubulação inicial: ferro fundido novo com rugosidade absoluta \varepsilon_{FI} = 0,25\\ \mathrm{mm}.
  • Tubulação substituta: PVC com rugosidade absoluta \varepsilon_{PVC} = 0,0015\\ \mathrm{mm}.
  • Diâmetro interno da tubulação: D = 300\\ \mathrm{mm}.
  • Comprimento da tubulação: L = 1000\\ \mathrm{m}.
  • Água a 20^\circ\mathrm{C} com viscosidade cinemática \nu = 1{,}0\times10^{-6}\\ \mathrm{m}^2/\mathrm{s}.
O que o problema pede:
  • Determinar o acréscimo ou decréscimo percentual da vazão quando toda a tubulação de ferro fundido é substituída por PVC, mantendo os mesmos níveis constantes dos reservatórios (ou seja, mesma queda de carga disponível).
Observação importante (para lembrar durante a resolução): convertendo rugosidades para metros e diâmetro para metros:
\varepsilon_{FI}=0,25\\ \mathrm{mm}=0,00025\\ \mathrm{m},\qquad \varepsilon_{PVC}=0,0015\\ \mathrm{mm}=0,0000015\\ \mathrm{m}, \qquad D=300\\ \mathrm{mm}=0,300\\ \mathrm{m}.

Passo 2

Conceito físico e estratégia de solução (explicação didática):
  • Em escoamento entre dois reservatórios com níveis fixos, a diferença de nível (queda hidráulica) impõe uma determinada perda de carga total h_f na tubulação. Se os reservatórios mantêm a mesma diferença de nível, essa h_f é a mesma antes e depois da troca do material da tubulação.
  • A perda de carga por atrito na tubulação é dada pela fórmula de Darcy–Weisbach:
h_f = f\,\frac{L}{D}\,\frac{V^2}{2g},
onde f é o fator de atrito de Darcy (adimensional), V é a velocidade média do fluido, g é a aceleração da gravidade.
  • Como Q = A V e A=\dfrac{\pi D^2}{4}, a vazão está diretamente ligada à velocidade.
  • Se a perda de carga h_f é a mesma antes e depois, dos dois casos temos:
f_0\,\frac{L}{D}\,\frac{V_0^2}{2g} \;=\; f_1\,\frac{L}{D}\,\frac{V_1^2}{2g},
logo
\frac{V_1}{V_0} = \sqrt{\frac{f_0}{f_1}}, \qquad \frac{Q_1}{Q_0} = \sqrt{\frac{f_0}{f_1}}.
  • Portanto, para obter Q_1 (vazão com PVC) é necessário conhecer f_0 (ferro fundido, no regime de escoamento correspondente a Q_0) e f_1 (PVC, no regime de escoamento correspondente a Q_1). Note que f_1 depende de Q_1 via o número de Reynolds, então a equação é implícita e requer solução iterativa.
  • Para relacionar f com rugosidade e Reynolds usaremos a fórmula explícita de Swamee–Jain (rápida e adequada para escoamentos turbulentos):
f = \dfrac{0,25}{\displaystyle\left[\log_{10}\!\left(\dfrac{\varepsilon}{3{,}7D}+\dfrac{5{,}74}{\mathrm{Re}^{0{,}9}}\right)\right]^2},
onde \mathrm{Re}=\dfrac{VD}{\nu} e \varepsilon é a rugosidade absoluta. Esta fórmula é válida para escoamentos turbulentos (aprox. \mathrm{Re}\gtrsim5{,}000), que será o caso aqui.

Passo 3

Cálculos iniciais geométricos e velocidade na tubulação antiga:
  • Área da seção:
A=\frac{\pi D^2}{4}=\frac{\pi (0,300)^2}{4}=\pi\cdot 0,0225 \approx 0,070686\\ \mathrm{m}^2.
  • Velocidade correspondente a Q_0:
V_0=\frac{Q_0}{A}=\frac{0,214}{0,070686}\approx 3,028\\ \mathrm{m/s}.
  • Número de Reynolds associado a Q_0:
\mathrm{Re}_0=\frac{V_0 D}{\nu}=\frac{3,028\cdot 0,300}{1{,}0\times10^{-6}}\approx 9,083\times10^{5}.
(O fluxo é claramente turbulento.)

Passo 4

Cálculo do fator de atrito na tubulação de ferro fundido usando Swamee–Jain:
  • Relação para ferro: \varepsilon_{FI}=0,00025\\ \mathrm{m}. Calcular os termos da fórmula:
\frac{\varepsilon_{FI}}{3{,}7D}=\frac{0,00025}{3{,}7\cdot 0,300}\approx 2{,}252\times10^{-4},
\frac{5{,}74}{\mathrm{Re}_0^{0{,}9}}\approx \frac{5{,}74}{(9{,}083\times10^{5})^{0{,}9}}\approx 2{,}484\times10^{-5}.
  • Soma interna do logaritmo:
S=2{,}252\times10^{-4}+2{,}484\times10^{-5}\approx 2{,}500\times10^{-4}.
  • Aplicando Swamee–Jain:
f_0=\frac{0,25}{\left[\log_{10}(S)\right]^2} =\frac{0,25}{\left[\log_{10}(2{,}5\times10^{-4})\right]^2} \approx 0,01927.
Explicação curta sobre o que foi feito: aqui se obteve f_0 associado à vazão conhecida Q_0. Esse é o fator de atrito que produz a perda de carga h_f aplicada pelo sistema de reservatórios.

Passo 5

Montagem da equação implícita e método iterativo para encontrar Q_1:
  • Relação entre vazões e fatores:
Q_1 = Q_0\sqrt{\frac{f_0}{f_1}},
mas f_1=f(\mathrm{Re}_1,\varepsilon_{PVC}/D) e \mathrm{Re}_1 depende de Q_1. Logo usamos iterações:
  1. Chute inicial: suponha Q_1^{(0)}=Q_0 e calcule f_1^{(0)}.
  2. Calcule Q_1^{(1)}=Q_0\sqrt{f_0/f_1^{(0)}}.
  3. Recalcule f_1^{(1)} usando \mathrm{Re}_1^{(1)} obtido de Q_1^{(1)}.
  4. Repita até convergência.
Agora executar as iterações numericamente (usando Swamee–Jain para f_1). Lembrar: \varepsilon_{PVC}=0,0000015\\ \mathrm{m} e \varepsilon_{PVC}/D=5{,}0\times10^{-6}.
Iteração 0 (chute): Q_1^{(0)}=Q_0\Rightarrow \mathrm{Re}^{(0)}=\mathrm{Re}_0=9{,}083\times10^{5}.
  • Calcular f_1^{(0)} (PVC) com Swamee–Jain:
\frac{\varepsilon_{PVC}}{3{,}7D}=\frac{1{,}5\times10^{-6}}{3{,}7\cdot0{,}300}\approx 1{,}351\times10^{-6},
\frac{5{,}74}{\mathrm{Re}^{0{,}9}}\approx 2{,}484\times10^{-5}\\ \text{(mesmo que antes)}.
Soma interna S\approx 2{,}619\times10^{-5}. Logo
f_1^{(0)}\approx\frac{0,25}{[\log_{10}(2{,}619\times10^{-5})]^2}\approx 0,01191.
  • Atualiza Q:
Q_1^{(1)}=0,214\sqrt{\frac{0,01927}{0,01191}}\approx 0,2722\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{s}.
Iteração 1:
  • Velocidade e Reynolds com Q_1^{(1)}:
V_1^{(1)}=\frac{Q_1^{(1)}}{A}=\frac{0,2722}{0,070686}\approx 3,850\\ \mathrm{m/s},
\mathrm{Re}_1^{(1)}=\frac{V_1^{(1)}D}{\nu}\approx \frac{3,850\cdot0{,}300}{1\times10^{-6}}\approx 1{,}155\times10^{6}.
  • Calcular f_1^{(1)} com Swamee–Jain (usando \mathrm{Re}_1^{(1)}):
\frac{5{,}74}{\mathrm{Re}_1^{(1)^{0{,}9}}}\approx 1{,}983\times10^{-5},
soma interna S\approx 1{,}351\times10^{-6}+1{,}983\times10^{-5}\approx 2{,}118\times10^{-5}.
f_1^{(1)}\approx\frac{0,25}{[\log_{10}(2{,}118\times10^{-5})]^2}\approx 0,01144.
  • Atualiza Q:
Q_1^{(2)}=0,214\sqrt{\frac{0,01927}{0,01144}}\approx 0,2776\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{s}.
Iteração 2:
  • Velocidade e Reynolds com Q_1^{(2)}:
V_1^{(2)}=\frac{0,2776}{0,070686}\approx 3,928\\ \mathrm{m/s}, \qquad \mathrm{Re}_1^{(2)}\approx 1{,}179\times10^{6}.
  • Calcular f_1^{(2)}:
\frac{5{,}74}{\mathrm{Re}_1^{(2)^{0{,}9}}}\approx 1{,}955\times10^{-5},
soma interna S\approx 2{,}090\times10^{-5},
f_1^{(2)}\approx\frac{0,25}{[\log_{10}(2{,}090\times10^{-5})]^2}\approx 0,01141.
  • Atualiza Q:
Q_1^{(3)}=0,214\sqrt{\frac{0,01927}{0,01141}}\approx 0,2783\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{s}.
Iteração 3 (verificação rápida):
  • Recalcular f_1 com Q_1^{(3)} dará um valor praticamente igual a 0,01141. Portanto convergência alcançada com
Q_1\approx 0,278\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{s}.
Comentário didático sobre iteração: a dependência mútua entre f e \mathrm{Re} é típica em problemas de perda de carga. A fórmula de Swamee–Jain agiliza o processo permitindo iterações rápidas até que Q_1 e f_1 se tornem consistentes.

Passo 6

Cálculo do acréscimo percentual da vazão:
  • Razão entre vazões:
\frac{Q_1}{Q_0}\approx \frac{0,2783}{0,214}\approx 1,3005.
  • Acréscimo percentual:
\Delta\%=\left(\frac{Q_1-Q_0}{Q_0}\right)\times100\%=(1{,}3005-1)\times100\%\approx 30{,}05\%.
Interpretação: a substituição da tubulação de ferro fundido por PVC, por reduzir muito a rugosidade relativa, aumenta a vazão disponível em cerca de 30\% para a mesma queda de carga imposta pelos reservatórios.

Resposta

Aumento de 30{,}05\%

Exercícios relacionados