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Entre dois reservatórios mantidos em níveis constantes escoa uma vazão de
por uma tubulação de ferro fundido novo, com rugosidade absoluta de
, diâmetro 300 mm e comprimento de 1000 m . Determine o acréscimo ou decréscimo percentual de vazão, caso toda tubulação de ferro fundido seja substituída por uma tubulação de PVC com rugosidade absoluta de
. Considere a água a
, com viscosidade cinemática
.
Passo 1
O enunciado fornece os seguintes dados (todos os números abaixo foram fornecidos no problema):
- Vazão inicial:
. - Tubulação inicial: ferro fundido novo com rugosidade absoluta
. - Tubulação substituta: PVC com rugosidade absoluta
. - Diâmetro interno da tubulação:
. - Comprimento da tubulação:
. - Água a
com viscosidade cinemática .
O que o problema pede:
- Determinar o acréscimo ou decréscimo percentual da vazão quando toda a tubulação de ferro fundido é substituída por PVC, mantendo os mesmos níveis constantes dos reservatórios (ou seja, mesma queda de carga disponível).
Observação importante (para lembrar durante a resolução): convertendo rugosidades para metros e diâmetro para metros:
Passo 2
Conceito físico e estratégia de solução (explicação didática):
- Em escoamento entre dois reservatórios com níveis fixos, a diferença de nível (queda hidráulica) impõe uma determinada perda de carga total
na tubulação. Se os reservatórios mantêm a mesma diferença de nível, essa é a mesma antes e depois da troca do material da tubulação. - A perda de carga por atrito na tubulação é dada pela fórmula de Darcy–Weisbach:
onde
é o fator de atrito de Darcy (adimensional),
é a velocidade média do fluido,
é a aceleração da gravidade.
- Como
e , a vazão está diretamente ligada à velocidade. - Se a perda de carga
é a mesma antes e depois, dos dois casos temos:
logo
- Portanto, para obter
(vazão com PVC) é necessário conhecer (ferro fundido, no regime de escoamento correspondente a ) e (PVC, no regime de escoamento correspondente a ). Note que depende de via o número de Reynolds, então a equação é implícita e requer solução iterativa. - Para relacionar
com rugosidade e Reynolds usaremos a fórmula explícita de Swamee–Jain (rápida e adequada para escoamentos turbulentos):
onde
e
é a rugosidade absoluta. Esta fórmula é válida para escoamentos turbulentos (aprox.
), que será o caso aqui.
Passo 3
Cálculos iniciais geométricos e velocidade na tubulação antiga:
- Área da seção:
- Velocidade correspondente a
:
- Número de Reynolds associado a
:
(O fluxo é claramente turbulento.)
Passo 4
Cálculo do fator de atrito na tubulação de ferro fundido usando Swamee–Jain:
- Relação para ferro:
. Calcular os termos da fórmula:
- Soma interna do logaritmo:
- Aplicando Swamee–Jain:
Explicação curta sobre o que foi feito: aqui se obteve
associado à vazão conhecida
. Esse é o fator de atrito que produz a perda de carga
aplicada pelo sistema de reservatórios.
Passo 5
Montagem da equação implícita e método iterativo para encontrar
:
- Relação entre vazões e fatores:
mas
e
depende de
. Logo usamos iterações:
- Chute inicial: suponha
e calcule . - Calcule
. - Recalcule
usando obtido de . - Repita até convergência.
Agora executar as iterações numericamente (usando Swamee–Jain para
). Lembrar:
e
.
Iteração 0 (chute):
.
- Calcular
(PVC) com Swamee–Jain:
Soma interna
. Logo
- Atualiza
:
Iteração 1:
- Velocidade e Reynolds com
:
- Calcular
com Swamee–Jain (usando ):
soma interna
.
- Atualiza
:
Iteração 2:
- Velocidade e Reynolds com
:
- Calcular
:
soma interna
,
- Atualiza
:
Iteração 3 (verificação rápida):
- Recalcular
com dará um valor praticamente igual a . Portanto convergência alcançada com
Comentário didático sobre iteração: a dependência mútua entre
e
é típica em problemas de perda de carga. A fórmula de Swamee–Jain agiliza o processo permitindo iterações rápidas até que
e
se tornem consistentes.
Passo 6
Cálculo do acréscimo percentual da vazão:
- Razão entre vazões:
- Acréscimo percentual:
Interpretação: a substituição da tubulação de ferro fundido por PVC, por reduzir muito a rugosidade relativa, aumenta a vazão disponível em cerca de
para a mesma queda de carga imposta pelos reservatórios.
Resposta
Aumento de