(Valor: 08 pontos) Uma estação retransmissora de energia elétrica atende as cidades A, B, C e D, cujas posições são representadas em um plano cartesiano por A=(-10,20), B=(-20,20), C=(-30,-10) e D=(20,30). Determine o local onde a estação deve estar localizada para que a soma das distâncias a cada cidade seja mínima.
Passo 1
O enunciado dá as posições das quatro cidades no plano cartesiano e pede o ponto onde deve ficar a estação para minimizar a soma das distâncias até as quatro cidades. Dados fornecidos:
A = (-10,20),\qquad B = (-20,20),\qquad C = (-30,-10),\qquad D = (20,30).
Pergunta: determinar as coordenadas do local (ponto no plano) que minimizam a soma das distâncias do ponto até A,B,C,D.
Passo 2
Vamos escrever matematicamente o que queremos minimizar. Se P=(x,y) é a posição da estação, a função objetivo é a soma das distâncias euclidianas até as cidades:
Aqui (x_X,y_X) são as coordenadas de cada cidade. A tarefa é encontrar o ponto P que minimiza F.
Um fato importante (explicado de forma simples): se o ponto minimizador coincide com uma das cidades, digamos com A, existe uma condição fácil de testar sem precisar resolver equações complicadas. Considere os vetores unitários que vão de A para cada uma das outras cidades; se a soma vetorial desses vetores unitários tiver norma menor ou igual a 1, então A é o minimizador de F. Intuição rápida: mover a estação um pouco a partir de A causa, em primeira ordem, variação da soma das distâncias proporcional ao produto escalar do deslocamento com essa soma de vetores unitários; se a norma dessa soma é ≤ 1, não existe deslocamento pequeno que diminua F.
Vou aplicar esse teste ao ponto A. (Se o teste falhasse, usaríamos um método iterativo como o algoritmo de Weiszfeld; mas aqui o teste será suficiente.)
Passo 3
Calcular os vetores que partem de A para cada cidade e suas versões unitárias.
Como \|\mathbf{S}\|\approx 0{,}796\le 1, a condição mencionada é satisfeita no ponto A. Portanto a soma das distâncias a A,B,C,D é minimizada quando a estação está localizada exatamente em A. Ou seja, nenhum deslocamento pequeno a partir de A diminui a soma das distâncias, e por propriedades da função soma de normas isso garante que A é o minimizador global.