(Valor: 08 pontos) Uma estação retransmissora de energia elétrica atende as cidades A, B, C e D, cujas posições são representadas em um plano cartesiano por A=(-10,20), B=(-20,20), C=(-30,-10) e D=(20,30). Determine o local onde a estação deve estar localizada para que a soma das distâncias a cada cidade seja mínima.

Passo 1

O enunciado dá as posições das quatro cidades no plano cartesiano e pede o ponto onde deve ficar a estação para minimizar a soma das distâncias até as quatro cidades. Dados fornecidos:
A = (-10,20),\qquad B = (-20,20),\qquad C = (-30,-10),\qquad D = (20,30).
Pergunta: determinar as coordenadas do local (ponto no plano) que minimizam a soma das distâncias do ponto até A,B,C,D.

Passo 2

Vamos escrever matematicamente o que queremos minimizar. Se P=(x,y) é a posição da estação, a função objetivo é a soma das distâncias euclidianas até as cidades:
F(x,y)=\sum_{X\in\{A,B,C,D\}}\sqrt{(x-x_X)^2+(y-y_X)^2}.
Aqui (x_X,y_X) são as coordenadas de cada cidade. A tarefa é encontrar o ponto P que minimiza F.
Um fato importante (explicado de forma simples): se o ponto minimizador coincide com uma das cidades, digamos com A, existe uma condição fácil de testar sem precisar resolver equações complicadas. Considere os vetores unitários que vão de A para cada uma das outras cidades; se a soma vetorial desses vetores unitários tiver norma menor ou igual a 1, então A é o minimizador de F. Intuição rápida: mover a estação um pouco a partir de A causa, em primeira ordem, variação da soma das distâncias proporcional ao produto escalar do deslocamento com essa soma de vetores unitários; se a norma dessa soma é ≤ 1, não existe deslocamento pequeno que diminua F.
Vou aplicar esse teste ao ponto A. (Se o teste falhasse, usaríamos um método iterativo como o algoritmo de Weiszfeld; mas aqui o teste será suficiente.)

Passo 3

Calcular os vetores que partem de A para cada cidade e suas versões unitárias.
Vetor de A para B:
\overrightarrow{AB}=B-A = (-20,-10?)\\ \text{(corrigir)}
Corrigindo com cuidado: B-A = (-20 - (-10),\,20-20)=(-10,0).
O comprimento é \|\overrightarrow{AB}\|=10. Logo o vetor unitário é
\frac{\overrightarrow{AB}}{\|\overrightarrow{AB}\|}=(-1,0).
Vetor de A para C:
\overrightarrow{AC}=C-A = (-30-(-10),\,-10-20)=(-20,-30).
O comprimento é
\|\overrightarrow{AC}\|=\sqrt{(-20)^2+(-30)^2}=\sqrt{400+900}=\sqrt{1300}=10\sqrt{13}.
Assim o vetor unitário é
\frac{\overrightarrow{AC}}{\|\overrightarrow{AC}\|}=\Bigl(-\frac{20}{10\sqrt{13}},\,-\frac{30}{10\sqrt{13}}\Bigr)=\Bigl(-\frac{2}{\sqrt{13}},\,-\frac{3}{\sqrt{13}}\Bigr).
Vetor de A para D:
\overrightarrow{AD}=D-A = (20-(-10),\,30-20)=(30,10).
O comprimento é
\|\overrightarrow{AD}\|=\sqrt{30^2+10^2}=\sqrt{900+100}=\sqrt{1000}=10\sqrt{10}.
O vetor unitário é
\frac{\overrightarrow{AD}}{\|\overrightarrow{AD}\|}=\Bigl(\frac{30}{10\sqrt{10}},\frac{10}{10\sqrt{10}}\Bigr)=\Bigl(\frac{3}{\sqrt{10}},\frac{1}{\sqrt{10}}\Bigr).
Agora somamos os vetores unitários (incluindo o de AB):
\mathbf{S}=(-1,0)+\Bigl(-\frac{2}{\sqrt{13}},-\frac{3}{\sqrt{13}}\Bigr)+\Bigl(\frac{3}{\sqrt{10}},\frac{1}{\sqrt{10}}\Bigr).
Calculemos as componentes numericamente (para verificar a condição):
\frac{2}{\sqrt{13}}\approx 0{,}5547,\qquad \frac{3}{\sqrt{13}}\approx 0{,}8321,
\frac{3}{\sqrt{10}}\approx 0{,}9487,\qquad \frac{1}{\sqrt{10}}\approx 0{,}3162.
Assim as componentes de \mathbf{S} são
S_x = -1 -0{,}5547 +0{,}9487 \approx -0{,}6060,
S_y = 0 -0{,}8321 +0{,}3162 \approx -0{,}5159.
A norma de \mathbf{S} é
\|\mathbf{S}\|=\sqrt{(-0{,}6060)^2+(-0{,}5159)^2}\approx\sqrt{0{,}3673+0{,}2661}\approx\sqrt{0{,}6334}\approx 0{,}796.

Passo 4

Como \|\mathbf{S}\|\approx 0{,}796\le 1, a condição mencionada é satisfeita no ponto A. Portanto a soma das distâncias a A,B,C,D é minimizada quando a estação está localizada exatamente em A. Ou seja, nenhum deslocamento pequeno a partir de A diminui a soma das distâncias, e por propriedades da função soma de normas isso garante que A é o minimizador global.

Resposta

(-10,20)

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