(Valor: 08 pontos) Determine os extremos relativos da função
.
Passo 1
O enunciado pede: determine os extremos relativos da função
.
Informações dadas relevantes: a fórmula explícita de . O que precisamos encontrar são os pontos críticos (onde o gradiente é nulo ou não existe) e classificar cada um como mínimo local, máximo local ou ponto de sela.
Informações dadas relevantes: a fórmula explícita de
Passo 2
Primeiro passo técnico: encontrar os pontos críticos. Explicação didática sobre derivadas parciais:
- A derivada parcial de
em relação a , denotada por , mede a taxa de variação de quando só alteramos e mantemos fixo. Calcula-se derivando como se fosse constante. - A derivada parcial de
em relação a , denotada por , é análoga: deriva-se tratando como constante.
Vamos calcular:
Aqui derivamos
para obter
,
vira
, e os termos que não dependem de
(como
) têm derivada zero.
Aqui usamos a regra de potência: derivada de
é
e de
é
. Termos sem
desaparecem.
Passo 3
Pontos críticos ocorrem onde o gradiente é nulo, isto é, onde
Substituindo:
Resolvo cada equação:
- Da primeira:
. - Da segunda:
ou .
Portanto há dois pontos críticos:
e
.]
Passo 4
Agora precisamos classificar cada ponto crítico. Vou ensinar a regra padrão (teste das segundas derivadas para duas variáveis):
- Calcule as segundas derivadas
, e (ou ). - Forme o determinante da Hessiana em um ponto, que chamamos de
:
Interpretação do teste:
- Se
e em um ponto crítico, então é mínimo local. - Se
e , então é máximo local. - Se
, então é ponto de sela. - Se
, o teste é inconclusivo.
Explicação rápida do porquê:
diz se a curvatura na direção
é para cima ou para baixo;
combina curvaturas e mistura entre
e
. Não precisa decorar mais que isso agora — seguir as condições acima basta para a prova.
Passo 5
Calculo as segundas derivadas da função:
Observação:
porque
não depende de
. Com isso o determinante da Hessiana simplifica para
Passo 6
Avalio
e
em cada ponto crítico para classificar:
- Para o ponto
: aqui . Então
Como
, pelo teste das segundas derivadas
é um ponto de sela (saddle point). Para referência calculemos o valor de
nesse ponto:
- Para o ponto
: aqui . Então
e já sabemos
. Como
e
, pelo teste isso indica um mínimo local. Valor da função nesse ponto:
Conclusão:
é ponto de sela;
é mínimo local de valor
. Não há máximos locais encontrados.