(Valor: 08 pontos) Determine os extremos relativos da função f(x, y)=x^{2}+y^{3}-6 y^{2}+4 x+2.

Passo 1

O enunciado pede: determine os extremos relativos da função f(x,y)=x^{2}+y^{3}-6y^{2}+4x+2.
Informações dadas relevantes: a fórmula explícita de f(x,y). O que precisamos encontrar são os pontos críticos (onde o gradiente é nulo ou não existe) e classificar cada um como mínimo local, máximo local ou ponto de sela.

Passo 2

Primeiro passo técnico: encontrar os pontos críticos. Explicação didática sobre derivadas parciais:
  • A derivada parcial de f em relação a x, denotada por f_x, mede a taxa de variação de f quando só alteramos x e mantemos y fixo. Calcula-se derivando f como se y fosse constante.
  • A derivada parcial de f em relação a y, denotada por f_y, é análoga: deriva-se f tratando x como constante.
Vamos calcular:
f_x=\frac{\partial}{\partial x}\bigl(x^{2}+y^{3}-6y^{2}+4x+2\bigr)=2x+4.
Aqui derivamos x^{2} para obter 2x, 4x vira 4, e os termos que não dependem de x (como y^{3}) têm derivada zero.
f_y=\frac{\partial}{\partial y}\bigl(x^{2}+y^{3}-6y^{2}+4x+2\bigr)=3y^{2}-12y.
Aqui usamos a regra de potência: derivada de y^{3} é 3y^{2} e de -6y^{2} é -12y. Termos sem y desaparecem.

Passo 3

Pontos críticos ocorrem onde o gradiente é nulo, isto é, onde
\begin{cases} f_x=0,\\[4pt] f_y=0. \end{cases}
Substituindo:
\begin{cases} 2x+4=0,\\[4pt] 3y^{2}-12y=0. \end{cases}
Resolvo cada equação:
  • Da primeira: 2x+4=0\Rightarrow x=-2.
  • Da segunda: 3y^{2}-12y=3y(y-4)=0\Rightarrow y=0 ou y=4.
Portanto há dois pontos críticos: (-2,0) e (-2,4).]

Passo 4

Agora precisamos classificar cada ponto crítico. Vou ensinar a regra padrão (teste das segundas derivadas para duas variáveis):
  • Calcule as segundas derivadas f_{xx}, f_{yy} e f_{xy} (ou f_{yx}).
  • Forme o determinante da Hessiana em um ponto, que chamamos de D:
D = f_{xx}f_{yy}-(f_{xy})^{2}.
Interpretação do teste:
  • Se D>0 e f_{xx}>0 em um ponto crítico, então é mínimo local.
  • Se D>0 e f_{xx}<0, então é máximo local.
  • Se D<0, então é ponto de sela.
  • Se D=0, o teste é inconclusivo.
Explicação rápida do porquê: f_{xx} diz se a curvatura na direção x é para cima ou para baixo; D combina curvaturas e mistura entre x e y. Não precisa decorar mais que isso agora — seguir as condições acima basta para a prova.

Passo 5

Calculo as segundas derivadas da função:
f_{xx}=\frac{\partial}{\partial x}(f_x)=\frac{\partial}{\partial x}(2x+4)=2,
f_{yy}=\frac{\partial}{\partial y}(f_y)=\frac{\partial}{\partial y}(3y^{2}-12y)=6y-12,
f_{xy}=\frac{\partial}{\partial y}(f_x)=\frac{\partial}{\partial y}(2x+4)=0.
Observação: f_{xy}=0 porque f_x não depende de y. Com isso o determinante da Hessiana simplifica para
D= f_{xx}f_{yy}-(f_{xy})^{2}=2(6y-12)-0=12y-24=12(y-2).

Passo 6

Avalio D e f_{xx} em cada ponto crítico para classificar:
  • Para o ponto (-2,0): aqui y=0. Então
D=12(0-2)=12(-2)=-24<0.
Como D<0, pelo teste das segundas derivadas (-2,0) é um ponto de sela (saddle point). Para referência calculemos o valor de f nesse ponto:
f(-2,0)=(-2)^{2}+0-0+4(-2)+2=4-8+2=-2.
  • Para o ponto (-2,4): aqui y=4. Então
D=12(4-2)=12\cdot 2=24>0,
e já sabemos f_{xx}=2>0. Como D>0 e f_{xx}>0, pelo teste isso indica um mínimo local. Valor da função nesse ponto:
f(-2,4)=(-2)^{2}+4^{3}-6\cdot 4^{2}+4(-2)+2=4+64-96-8+2= -34.
Conclusão: (-2,0) é ponto de sela; (-2,4) é mínimo local de valor -34. Não há máximos locais encontrados.

Resposta

(-2,0): ponto de sela, f(-2,0)=-2
(-2,4): mínimo local, f(-2,4)=-34

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