Determine as derivadas parciais de segunda ordem das funçōes.
Passo 1
O enunciado pede: “Determinar as derivadas parciais de segunda ordem” da função
.
Informações dadas importantes: a função está definida quando e
(porque o logaritmo exige argumento positivo). O objetivo é calcular
(as derivadas parciais de segunda ordem).
Informações dadas importantes: a função está definida quando
Passo 2
Primeiro vamos simplificar a função usando propriedades do logaritmo — isso deixa a diferenciação muito mais direta e evita confusão com produtos e potências. As propriedades que usamos são:
e
Aplicando em
:
Observação sobre o valor absoluto: escrevi
e
porque
. Na prática, como
e
tem sinal do
, temos domínio
,
; ao derivar a expressão
podemos usar
.
Passo 3
Agora calculamos as derivadas parciais de primeira ordem. Lembrete didático: a derivada parcial em relação a
trata
como constante; em relação a
trata
como constante. Também usamos a fórmula básica:
Derivada parcial em relação a
:
Derivada parcial em relação a
:
Como verificação alternativa (opcional): usando a forma original e a regra da cadeia,
que dá o mesmo resultado.
Passo 4
Agora as derivadas parciais de segunda ordem. Vamos derivar as primeiras parciais, sempre tratando a outra variável como constante.
-
. Escrevendo , a derivada é
-
. Como não depende de , temos
-
. Escrevendo , a derivada é
-
. Como não depende de , temos
Curiosidade útil para a prova: quando as segundas derivadas mistas são contínuas no domínio, vale
(teorema de Clairaut). Aqui ambas são
, então coincidem.