Determine as derivadas parciais de segunda ordem das funçōes.
f(x, y)=\ln \left(x^{2} y^{3}\right)

Passo 1

O enunciado pede: “Determinar as derivadas parciais de segunda ordem” da função f(x,y)=\ln\left(x^{2}y^{3}\right).
Informações dadas importantes: a função está definida quando x\neq 0 e y\neq 0 (porque o logaritmo exige argumento positivo). O objetivo é calcular \displaystyle f_{xx},\,f_{xy},\,f_{yx},\,f_{yy} (as derivadas parciais de segunda ordem).

Passo 2

Primeiro vamos simplificar a função usando propriedades do logaritmo — isso deixa a diferenciação muito mais direta e evita confusão com produtos e potências. As propriedades que usamos são:
\ln(ab)=\ln a+\ln b
e
\ln(a^k)=k\ln a.
Aplicando em f:
f(x,y)=\ln\big(x^{2}y^{3}\big)=\ln(x^{2})+\ln(y^{3})=2\ln|x|+3\ln|y|.
Observação sobre o valor absoluto: escrevi \ln|x| e \ln|y| porque \ln(x^{2})=2\ln|x|. Na prática, como x^2>0 e y^3 tem sinal do y, temos domínio x\neq0, y\neq0; ao derivar a expressão 2\ln|x|+3\ln|y| podemos usar \dfrac{d}{dx}\ln|x|=\dfrac{1}{x}.

Passo 3

Agora calculamos as derivadas parciais de primeira ordem. Lembrete didático: a derivada parcial em relação a x trata y como constante; em relação a y trata x como constante. Também usamos a fórmula básica:
\frac{d}{dx}\ln|x|=\frac{1}{x}.
Derivada parcial em relação a x:
f_x = \frac{\partial}{\partial x}\big(2\ln|x|+3\ln|y|\big) =2\cdot\frac{1}{x}+3\cdot 0=\frac{2}{x}.
Derivada parcial em relação a y:
f_y = \frac{\partial}{\partial y}\big(2\ln|x|+3\ln|y|\big) =2\cdot 0+3\cdot\frac{1}{y}=\frac{3}{y}.
Como verificação alternativa (opcional): usando a forma original e a regra da cadeia,
f_x=\frac{1}{x^{2}y^{3}}\cdot\frac{\partial}{\partial x}(x^{2}y^{3}) =\frac{1}{x^{2}y^{3}}\cdot(2x y^{3})=\frac{2}{x},
que dá o mesmo resultado.

Passo 4

Agora as derivadas parciais de segunda ordem. Vamos derivar as primeiras parciais, sempre tratando a outra variável como constante.
  1. \displaystyle f_{xx}=\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{2}{x}\right). Escrevendo \dfrac{2}{x}=2x^{-1}, a derivada é
f_{xx}=2\cdot(-1)x^{-2}=-\frac{2}{x^{2}}.
  1. \displaystyle f_{xy}=\frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{2}{x}\right). Como \dfrac{2}{x} não depende de y, temos
f_{xy}=0.
  1. \displaystyle f_{yy}=\frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{3}{y}\right). Escrevendo \dfrac{3}{y}=3y^{-1}, a derivada é
f_{yy}=3\cdot(-1)y^{-2}=-\frac{3}{y^{2}}.
  1. \displaystyle f_{yx}=\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{3}{y}\right). Como \dfrac{3}{y} não depende de x, temos
f_{yx}=0.
Curiosidade útil para a prova: quando as segundas derivadas mistas são contínuas no domínio, vale f_{xy}=f_{yx} (teorema de Clairaut). Aqui ambas são 0, então coincidem.

Resposta

f_{xx}=-\dfrac{2}{x^{2}}
f_{xy}=0
f_{yx}=0
f_{yy}=-\dfrac{3}{y^{2}}

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