- (Valor - 11 Pontos) Em um projeto, dois segmentos de haste circular, um de alumínio e o outro de magnésio, estão presos às paredes rígidas de modo tal que há uma folga inicial entre (temperatura de montagem) ou temperatura inicial,
(ambos os materiais). Cada haste tem diâmetro de 40 mm . Considere:
e
,
. Determine o valor máximo da carga distribuída no magnésio (
), para que as tensões não ultrapassem as tensões admissíveis dos dois materiais, considere a temperatura final de projeto:
e
. Para a solução, considere que ambos os materiais trabalham no regime elástico. Considere: Folga inicial
- Alumínio:
e
.
- Magnésio:
e
.
Passo 1
O enunciado pede: determinar o valor máximo da carga axial distribuída no magnésio (denotada por
) para que as tensões calculadas em ambos os materiais não ultrapassem as tensões admissíveis, considerando as temperaturas finais dadas e a folga inicial de montagem.
Informações relevantes fornecidas (valores numéricos usados na solução):
- Temperatura inicial de montagem:
- Temperaturas finais:
e - Coeficientes de dilatação:
- magnésio:
- alumínio:
- magnésio:
- Módulos de elasticidade:
- magnésio:
- alumínio:
- magnésio:
- Diâmetro de ambas as hastes:
- Área da seção transversal:
- Área da seção transversal:
- Folga inicial (na montagem):
- Tensões admissíveis:
- Alumínio:
- Magnésio:
- Alumínio:
Observação importante extraída da figura (peguei estes comprimentos da imagem fornecida):
- Comprimento do segmento de magnésio:
- Comprimento do segmento de alumínio:
O que se busca: o maior valor de
(unidade
, carga axial distribuída ao longo do magnésio) tal que nenhuma tensão exceda seu limite admissível, assumindo comportamento elástico linear e que após os efeitos térmicos a folga se fecha (ou fecha + gera esforços), ou seja, trabalhar com compatibilidade e equilíbrio depois de contato.
Passo 2
Cálculo das dilatações livres (sem restrição) de cada peça devido à variação de temperatura (fórmula usada:
, onde
é coeficiente de dilatação linear,
comprimento e
variação de temperatura).
- Para o magnésio:
- Para o alumínio:
Somando as dilatações livres:
Comparando com a folga inicial
: a expansão térmica líquida (
) é ligeiramente maior que a folga (
). Logo, mesmo sem carga
, o conjunto fecha a folga e aparece uma pequena sobrepressão elástica entre as hastes. Portanto, após o aquecimento/resfriamento e montagem, as hastes ficam em contato e surgem tensões elásticas que dependem também da carga distribuída
. Vamos tratar o caso “com contato” (compatibilidade) e incluir
superpondo seus efeitos linearmente (linha elástica).
Passo 3
Escrever as equações de compatibilidade e equilíbrio (modelo elástico linear). Estratégia: calcular as deformações elásticas reais das duas hastes depois que a folga foi fechada e a montagem está entre paredes rígidas. Usamos superposição direta resolvendo o problema estático com:
- variável
= força axial transmitida na interface (força positiva quando está em tração no alumínio e em compressão no magnésio). tem dimensão Newton (N). - A carga distribuída
(unidade ) aplicada ao longo do comprimento do magnésio tem resultante . Em equilíbrio, a força interna no magnésio varia linearmente ao longo do comprimento; portanto ao calcular a deformação elástica total do magnésio integramos a tensão variável.
Formulamos: - Deformação elástica total do magnésio (extensão positiva; aqui a expressão resultante para a variação de comprimento devido a forças internas): com a força interna em seção
(medida desde a face esquerda do magnésio) igual a . A interface (lado direito do magnésio) transmite força igual a . Ao manipular as relações surge a expressão do alongamento elástico do magnésio (a dedução vem da integração com .) - Deformação elástica do alumínio (força interna uniforme
ao longo de seu comprimento):
Compatibilidade entre as duas deformações elásticas e a folga/expansão térmica: a soma dos alongamentos elásticos deve igualar a folga inicial menos a soma das dilatações térmicas (equação de compatibilidade derivada de: paredes fixas => somatório dos comprimentos finais igual comprimento inicial total). Assim definimos o resíduo
Numérico:
A equação de compatibilidade (soma das deformações elásticas =
) fica:
Multiplicando por
para facilitar:
Isolando
em função de
:
Defina o coeficiente
Com os números (em SI):
Calcule
:
Calcule
Logo
Substituindo os números e simplificando obtemos (valores em N e
em N/m):
(Nota: a expressão numérica foi obtida dividindo os termos; é a força interna na interface em função da carga distribuída.)
Passo 4
Expressões das tensões máximas nos dois materiais em função de
(para verificar as admissibilidades). Lembrando que
é a força de tração positiva no alumínio (logo tensão no alumínio
); no magnésio a força varia ao longo do comprimento por conta da carga distribuída:
- Tensão no alumínio (uniforme, tração positiva):
- Tensão no magnésio: o esforço axial varia linearmente; as duas posições críticas (máxima em módulo) são:
- extremidade direita (interface): força interna
(sinal de compressão se ); tensão absoluta ali: - extremidade esquerda (paredes): força interna
; tensão absoluta ali:
- extremidade direita (interface): força interna
Para segurança, devemos verificar para quais
qualquer dessas tensões atinge as admissibilidades dadas:
- Limite de tração do alumínio:
- Limite de compressão do alumínio:
(não exceder em módulo). - Limite de tração do magnésio:
(se for tracionado em alguma parte). - Limite de compressão do magnésio:
(no caso de compressão).
Agora substituímos
e verificamos as desigualdades críticas (convertendo MPa em N pela multiplicação por
quando trabalharmos em forças).
Passo 5
Determinar numericamente as condições limites (igualdades) que podem interromper o aumento de
. Calculamos as forças correspondentes às tensões admissíveis (multiplicando admissível por
):
- Força correspondente à
: - Força correspondente à
(compressão máxima em módulo): - Força correspondente à
(compressão máxima em módulo sobre a área ):
Observações sobre quais desigualdades serão ativas:
- A expressão
mostra que, quando aumenta (assumimos positivo na direção mostrada), diminui. Para obtemos (tensão de tração no alumínio de ), portanto inicialmente o alumínio está em tração moderada e o magnésio em compressão moderada. - À medida que
cresce bastante, pode se tornar zero e depois negativo: quando fica negativo significa que o alumínio passa de tração para compressão. Por isso o limite de compressão do alumínio ( ) pode tornar-se ativo para um grande suficiente. - Para o magnésio, as tensões em módulo nos dois extremos devem ser checadas: em particular, quando
fica negativo e grande em módulo, a tensão de compressão no magnésio na interface (valor ) cresce e pode atingir o limite .
Vamos encontrar os valores de
que fazem as tensões atingir suas admissibilidades (resolver igualdades) e então escolher o menor
que viola alguma das condições (esse será o máximo admissível).
- Álgebra para o alumínio atingir compressão admissível: exigir
. Usando ,
(isto é o valor de
que faria
igual a
no alumínio; para
maiores, o alumínio excederia a compressão admissível.)
- Álgebra para o magnésio na face direita atingir compressão admissível (força na interface em módulo): queremos
. Isso corresponde a (compressão no magnésio na interface), ou . Substituindo:
- Também verificar a possibilidade da face esquerda do magnésio atingir compressão admissível: a força no lado esquerdo é
. Queremos . Substituindo e :
(Observe que este valor é maior que o obtido no item 2.)
- Verificar a tração admissível do alumínio: resolver
dá
um valor negativo — não interessa se restringimos
. Assim a tração admissível do alumínio não é o limite no sentido de
positivo.
- Verificar tração admissível do magnésio: resolver
dá forças maiores que já checadas acima; numericamente esses limites saem maiores do que os críticos acima (não serão os primeiros a serem atingidos para ).
Comparando os valores críticos encontrados (para
):
- limite do alumínio em compressão:
. - limite do magnésio na face direita (interface):
. - limite do magnésio na face esquerda:
.
O menor valor positivo de
que faz alguma tensão atingir seu admissível é
, que corresponde à situação em que a compressão no magnésio, na face da interface (ponto de maior compressão naquela posição), atinge exatamente
. Para
maiores que esse valor, alguma tensão excederá um limite admissível (neste caso a compressão do magnésio na interface e, razoavelmente próximo, a compressão do alumínio também se aproxima do seu limite).
Passo 6
Verificações numéricas finais (garantir consistência das tensões no
crítico):
- Para
temos - Tensão no alumínio:
(isto é, alumínio comprimido em cerca de , abaixo do limite de compressão ; portanto ainda seguro). - Tensão no magnésio na face direita (interface):
(compressão máxima admissível do magnésio). - Tensão no magnésio na face esquerda:
e (menor que o admissível).
Logo, no valor crítico encontrado o magnésio atinge exatamente sua compressão admissível e o alumínio ainda está dentro de seu limite (em compressão, mas abaixo do limite de compressão). Assim o valor crítico correto é o menorque provoca violação; isto é o item (2), cerca de .
- Tensão no alumínio: