1. (Valor - 11 Pontos) Em um projeto, dois segmentos de haste circular, um de alumínio e o outro de magnésio, estão presos às paredes rígidas de modo tal que há uma folga inicial entre (temperatura de montagem) ou temperatura inicial, T_{\text {inical }}=30^{\circ} \mathrm{C} (ambos os materiais). Cada haste tem diâmetro de 40 mm . Considere: \alpha_{a l}=20\left(10^{-6}\right) /{ }^{\circ} \mathrm{C}, E_{a l}=70 \mathrm{GPa} e \alpha_{\text {magnésio }}=25\left(10^{-6}\right) /{ }^{\circ} \mathrm{C}é, E_{\text {magnésio }}=50 \mathrm{GPa}é. Determine o valor máximo da carga distribuída no magnésio ( p ), para que as tensões não ultrapassem as tensões admissíveis dos dois materiais, considere a temperatura final de projeto: \boldsymbol{T}_{\text {final,magnésio }}=\mathbf{8 0}^{\circ} \boldsymbol{C}é e \boldsymbol{T}_{\text {final,alumínio }}=\mathbf{1 0}^{\circ} \boldsymbol{C}í. Para a solução, considere que ambos os materiais trabalham no regime elástico. Considere: Folga inicial =\mathbf{2} \boldsymbol{m m}
  • Alumínio: \sigma_{\text {adm, tração, } \mathrm{Al}}=200 \mathrm{MPa}çã e \sigma_{\text {adm, compressão, } \mathrm{Al}}=150 \mathrm{MPa}ã.
  • Magnésio: \boldsymbol{\sigma}_{\text {adm, tração, magnésio }}=150 \mathrm{MPa}çãé e \boldsymbol{\sigma}_{\text {adm, compressão, magnésio }}=120 \mathrm{MPa}ãé.

Passo 1

O enunciado pede: determinar o valor máximo da carga axial distribuída no magnésio (denotada por p) para que as tensões calculadas em ambos os materiais não ultrapassem as tensões admissíveis, considerando as temperaturas finais dadas e a folga inicial de montagem.
Informações relevantes fornecidas (valores numéricos usados na solução):
  • Temperatura inicial de montagem: \,T_{\text{inicial}}=30^\circ\text{C}.
  • Temperaturas finais: \,T_{\text{final,magnésio}}=80^\circ\text{C}é e \,T_{\text{final,alumínio}}=10^\circ\text{C}.í
  • Coeficientes de dilatação:
    • magnésio: \,\alpha_{\text{Mg}}=25\cdot10^{-6}/^\circ\text{C}.
    • alumínio: \,\alpha_{\text{Al}}=20\cdot10^{-6}/^\circ\text{C}.
  • Módulos de elasticidade:
    • magnésio: \,E_{\text{Mg}}=50\\ \text{GPa}=50\cdot10^{9}\\ \text{Pa}.
    • alumínio: \,E_{\text{Al}}=70\\ \text{GPa}=70\cdot10^{9}\\ \text{Pa}.
  • Diâmetro de ambas as hastes: \,d=40\\ \text{mm}=0{,}04\\ \text{m}.
    • Área da seção transversal: \displaystyle A=\frac{\pi d^2}{4}=\pi\left(0{,}02\right)^2=0{,}0004\pi\\ \text{m}^2\approx0{,}00125664\\ \text{m}^2.
  • Folga inicial (na montagem): \,d_{\text{folga}}=2\\ \text{mm}=0{,}002\\ \text{m}.
  • Tensões admissíveis:
    • Alumínio: \sigma_{\text{adm, tração, Al}}=200\\ \text{MPa},\\ \sigma_{\text{adm, compressão, Al}}=150\\ \text{MPa}.çãã
    • Magnésio: \sigma_{\text{adm, tração, Mg}}=150\\ \text{MPa},\\ \sigma_{\text{adm, compressão, Mg}}=120\\ \text{MPa}.çãã
Observação importante extraída da figura (peguei estes comprimentos da imagem fornecida):
  • Comprimento do segmento de magnésio: \,L_{\text{Mg}}=3\\ \text{m}.
  • Comprimento do segmento de alumínio: \,L_{\text{Al}}=4\\ \text{m}.
O que se busca: o maior valor de p (unidade \text{N}/\text{m}, carga axial distribuída ao longo do magnésio) tal que nenhuma tensão exceda seu limite admissível, assumindo comportamento elástico linear e que após os efeitos térmicos a folga se fecha (ou fecha + gera esforços), ou seja, trabalhar com compatibilidade e equilíbrio depois de contato.

Passo 2

Cálculo das dilatações livres (sem restrição) de cada peça devido à variação de temperatura (fórmula usada: \Delta L_{\text{th}}=\alpha L\,\Delta T, onde \alpha é coeficiente de dilatação linear, L comprimento e \Delta T variação de temperatura).
  • Para o magnésio: \Delta T_{\text{Mg}}=80-30=50^\circ\text{C}, \qquad \Delta L_{\text{th,Mg}}=\alpha_{\text{Mg}} L_{\text{Mg}}\Delta T_{\text{Mg}} =25\cdot10^{-6}\cdot 3\cdot 50=3{,}75\times10^{-3}\\ \text{m}=3{,}75\\ \text{mm}.
  • Para o alumínio: \Delta T_{\text{Al}}=10-30=-20^\circ\text{C}, \qquad \Delta L_{\text{th,Al}}=\alpha_{\text{Al}} L_{\text{Al}}\Delta T_{\text{Al}} =20\cdot10^{-6}\cdot 4\cdot(-20)=-1{,}6\times10^{-3}\\ \text{m}=-1{,}6\\ \text{mm}.
Somando as dilatações livres:
\Delta L_{\text{th,Mg}}+\Delta L_{\text{th,Al}}=3{,}75\\ \text{mm}-1{,}6\\ \text{mm}=2{,}15\\ \text{mm}=0{,}00215\\ \text{m}.
Comparando com a folga inicial d_{\text{folga}}=0{,}002\\ \text{m}: a expansão térmica líquida ( 2{,}15\\ \text{mm}) é ligeiramente maior que a folga ( 2{,}00\\ \text{mm}). Logo, mesmo sem carga p, o conjunto fecha a folga e aparece uma pequena sobrepressão elástica entre as hastes. Portanto, após o aquecimento/resfriamento e montagem, as hastes ficam em contato e surgem tensões elásticas que dependem também da carga distribuída p. Vamos tratar o caso “com contato” (compatibilidade) e incluir p superpondo seus efeitos linearmente (linha elástica).

Passo 3

Escrever as equações de compatibilidade e equilíbrio (modelo elástico linear). Estratégia: calcular as deformações elásticas reais das duas hastes depois que a folga foi fechada e a montagem está entre paredes rígidas. Usamos superposição direta resolvendo o problema estático com:
  • variável S = força axial transmitida na interface (força positiva quando está em tração no alumínio e em compressão no magnésio). S tem dimensão Newton (N).
  • A carga distribuída p (unidade \text{N}/\text{m}) aplicada ao longo do comprimento do magnésio tem resultante P=pL_{\text{Mg}}. Em equilíbrio, a força interna no magnésio varia linearmente ao longo do comprimento; portanto ao calcular a deformação elástica total do magnésio integramos a tensão variável.
    Formulamos:
  • Deformação elástica total do magnésio (extensão positiva; aqui a expressão resultante para a variação de comprimento devido a forças internas): com a força interna em seção x (medida desde a face esquerda do magnésio) igual a N(x)=R_{\text{left}}+p x. A interface (lado direito do magnésio) transmite força igual a -N(L_{\text{Mg}})=-\bigl(R_{\text{left}}+pL_{\text{Mg}}\bigr)=S. Ao manipular as relações surge a expressão do alongamento elástico do magnésio \Delta L_{\text{el,Mg}}=\frac{1}{A E_{\text{Mg}}}\bigl(-S L_{\text{Mg}} - \tfrac{1}{2}p L_{\text{Mg}}^2\bigr).(a dedução vem da integração \int_0^{L_{\text{Mg}}}\frac{N(x)}{AE_{\text{Mg}}}\,dx com R_{\text{left}}=-(S+pL_{\text{Mg}}).)
  • Deformação elástica do alumínio (força interna uniforme =S ao longo de seu comprimento): \Delta L_{\text{el,Al}}=\frac{S L_{\text{Al}}}{A E_{\text{Al}}}.
Compatibilidade entre as duas deformações elásticas e a folga/expansão térmica: a soma dos alongamentos elásticos deve igualar a folga inicial menos a soma das dilatações térmicas (equação de compatibilidade derivada de: paredes fixas => somatório dos comprimentos finais igual comprimento inicial total). Assim definimos o resíduo
r=d_{\text{folga}}-(\Delta L_{\text{th,Mg}}+\Delta L_{\text{th,Al}}).
Numérico:
r=0{,}002-(0{,}00375-0{,}0016)=0{,}002-0{,}00215=-0{,}00015\\ \text{m}\\ =-0{,}15\\ \text{mm}.
A equação de compatibilidade (soma das deformações elásticas = r) fica:
\frac{-S L_{\text{Mg}} - \tfrac{1}{2}p L_{\text{Mg}}^2}{A E_{\text{Mg}}} \;+\; \frac{S L_{\text{Al}}}{A E_{\text{Al}}}=r.
Multiplicando por A para facilitar:
\frac{-S L_{\text{Mg}} - \tfrac{1}{2}p L_{\text{Mg}}^2}{E_{\text{Mg}}} \;+\; \frac{S L_{\text{Al}}}{E_{\text{Al}}}=A r.
Isolando S em função de p:
S\left(-\frac{L_{\text{Mg}}}{E_{\text{Mg}}}+\frac{L_{\text{Al}}}{E_{\text{Al}}}\right) \;=\;A r \;+\;\frac{p L_{\text{Mg}}^2}{2E_{\text{Mg}}}.
Defina o coeficiente
C \equiv -\frac{L_{\text{Mg}}}{E_{\text{Mg}}}+\frac{L_{\text{Al}}}{E_{\text{Al}}}.
Com os números (em SI):
C=-\frac{3}{50\cdot10^{9}}+\frac{4}{70\cdot10^{9}} =-6{,}0\times10^{-11}+5{,}7142857\times10^{-11} =-2{,}857143\times10^{-12}\\ \text{(m/Pa)}.
Calcule A r:
A r =0{,}001256637061\times(-0{,}00015)=-1{,}88495559\times10^{-7}\\ \text{(m}^3\text{)}.
Calcule \dfrac{L_{\text{Mg}}^2}{2E_{\text{Mg}}}=\dfrac{9}{2\cdot50\cdot10^{9}}=9{,}0\times10^{-11}\\ \text{(m}^2/\text{Pa)}.
Logo
S=\frac{A r + p\cdot 9{,}0\times10^{-11}}{C}.
Substituindo os números e simplificando obtemos (valores em N e p em N/m):
S=66\,000 - 31{,}5\, p \qquad\text{(onde \(p\) está em N/m).}á
(Nota: a expressão numérica foi obtida dividindo os termos; é a força interna na interface em função da carga distribuída.)

Passo 4

Expressões das tensões máximas nos dois materiais em função de p (para verificar as admissibilidades). Lembrando que S é a força de tração positiva no alumínio (logo tensão no alumínio \sigma_{\text{Al}}=S/A); no magnésio a força varia ao longo do comprimento por conta da carga distribuída:
  • Tensão no alumínio (uniforme, tração positiva): \sigma_{\text{Al}}=\frac{S}{A}=\frac{66\,000 - 31{,}5\,p}{A}.
  • Tensão no magnésio: o esforço axial varia linearmente; as duas posições críticas (máxima em módulo) são:
    • extremidade direita (interface): força interna N(L_{\text{Mg}})=-S (sinal de compressão se S>0); tensão absoluta ali: \sigma_{\text{Mg, right}}=\frac{-S}{A}\quad\text{(compressão quando \(S>0\)).}ã
    • extremidade esquerda (paredes): força interna N(0)=-\bigl(S+pL_{\text{Mg}}\bigr); tensão absoluta ali: \sigma_{\text{Mg, left}}=\frac{-(S+pL_{\text{Mg}})}{A}\quad\text{(compressão se \(S+pL_{\text{Mg}}>0\)).}ã
Para segurança, devemos verificar para quais p qualquer dessas tensões atinge as admissibilidades dadas:
  • Limite de tração do alumínio: \sigma_{\text{Al}}\le 200\\ \text{MPa}.
  • Limite de compressão do alumínio: \sigma_{\text{Al}}\ge -150\\ \text{MPa} (não exceder em módulo).
  • Limite de tração do magnésio: |\sigma_{\text{Mg}}|\le 150\\ \text{MPa} (se for tracionado em alguma parte).
  • Limite de compressão do magnésio: |\sigma_{\text{Mg}}|\le 120\\ \text{MPa} (no caso de compressão).
Agora substituímos S=66\,000-31{,}5\,p e verificamos as desigualdades críticas (convertendo MPa em N pela multiplicação por A quando trabalharmos em forças).

Passo 5

Determinar numericamente as condições limites (igualdades) que podem interromper o aumento de p. Calculamos as forças correspondentes às tensões admissíveis (multiplicando admissível por A):
  • Força correspondente à \sigma_{\text{Al, tração, adm}}=200\\ \text{MPa}çã: S_{\text{Al,trac,adm}}=200\times10^{6}\cdot A =200\times10^{6}\cdot0{,}001256637061\approx 251\,327\\ \text{N}.
  • Força correspondente à \sigma_{\text{Al, comp, adm}}=-150\\ \text{MPa} (compressão máxima em módulo): S_{\text{Al,comp,adm}}=-150\times10^{6}\cdot A \approx -188\,496\\ \text{N}.
  • Força correspondente à \sigma_{\text{Mg, comp, adm}}=120\\ \text{MPa} (compressão máxima em módulo sobre a área A): N_{\text{Mg,adm}}^{\text{comp}}=120\times10^{6}\cdot A \approx 150\,796\\ \text{N}.
Observações sobre quais desigualdades serão ativas:
  • A expressão S=66\,000-31{,}5\,p mostra que, quando p aumenta (assumimos p positivo na direção mostrada), S diminui. Para p=0 obtemos S=66\,000\\ \text{N} (tensão de tração no alumínio de \approx52{,}5\\ \text{MPa}), portanto inicialmente o alumínio está em tração moderada e o magnésio em compressão moderada.
  • À medida que p cresce bastante, S pode se tornar zero e depois negativo: quando S fica negativo significa que o alumínio passa de tração para compressão. Por isso o limite de compressão do alumínio ( -150\\ \text{MPa}) pode tornar-se ativo para um p grande suficiente.
  • Para o magnésio, as tensões em módulo nos dois extremos devem ser checadas: em particular, quando S fica negativo e grande em módulo, a tensão de compressão no magnésio na interface (valor |-S/A|) cresce e pode atingir o limite 120\\ \text{MPa}.
Vamos encontrar os valores de p que fazem as tensões atingir suas admissibilidades (resolver igualdades) e então escolher o menor p que viola alguma das condições (esse será o máximo admissível).
  1. Álgebra para o alumínio atingir compressão admissível: exigir S=S_{\text{Al,comp,adm}}=-188\,496\\ \text{N}. Usando S=66\,000-31{,}5\,p,
66\,000-31{,}5\,p=-188\,496 \quad\Rightarrow\quad -31{,}5\,p=-254\,496
p=\frac{254\,496}{31{,}5}\approx 8\,081{,}7\\ \text{N/m}.
(isto é o valor de p que faria S igual a -150\\ \text{MPa} no alumínio; para p maiores, o alumínio excederia a compressão admissível.)
  1. Álgebra para o magnésio na face direita atingir compressão admissível (força na interface em módulo): queremos |-S|=N_{\text{Mg,adm}}^{\text{comp}}=150\,796\\ \text{N}. Isso corresponde a -S = 150\,796 (compressão no magnésio na interface), ou S=-150\,796\\ \text{N}. Substituindo:
66\,000-31{,}5\,p=-150\,796 \quad\Rightarrow\quad -31{,}5\,p=-216\,796
p=\frac{216\,796}{31{,}5}\approx 6\,881{,}1\\ \text{N/m}.
  1. Também verificar a possibilidade da face esquerda do magnésio atingir compressão admissível: a força no lado esquerdo é N(0)=-\bigl(S+pL_{\text{Mg}}\bigr). Queremos N(0)=150\,796\\ \text{N}. Substituindo S=66\,000-31{,}5\,p e L_{\text{Mg}}=3:
-(66\,000-31{,}5\,p + 3p)=150\,796
-(66\,000 -28{,}5\,p)=150\,796
66\,000 -28{,}5\,p = -150\,796
-28{,}5\,p = -216\,796
p=\frac{216\,796}{28{,}5}\approx 7\,607{,}5\\ \text{N/m}.
(Observe que este valor é maior que o obtido no item 2.)
  1. Verificar a tração admissível do alumínio: resolver S=+251\,327\\ \text{N}
66\,000-31{,}5\,p=251\,327 \Rightarrow -31{,}5\,p=185\,327 \Rightarrow p\approx -5\,886\\ \text{N/m},
um valor negativo — não interessa se restringimos p\ge0. Assim a tração admissível do alumínio não é o limite no sentido de p positivo.
  1. Verificar tração admissível do magnésio: resolver |\sigma_{\text{Mg}}|=150\\ \text{MPa} dá forças maiores que já checadas acima; numericamente esses limites saem maiores do que os críticos acima (não serão os primeiros a serem atingidos para p\ge 0).
Comparando os valores críticos encontrados (para p\ge0):
  • limite do alumínio em compressão: p\approx 8\,081{,}7\\ \text{N/m}.
  • limite do magnésio na face direita (interface): p\approx 6\,881{,}1\\ \text{N/m}.
  • limite do magnésio na face esquerda: p\approx 7\,607{,}5\\ \text{N/m}.
O menor valor positivo de p que faz alguma tensão atingir seu admissível é \boxed{p\approx 6\,881{,}1\\ \text{N/m}}, que corresponde à situação em que a compressão no magnésio, na face da interface (ponto de maior compressão naquela posição), atinge exatamente \;120\\ \text{MPa}. Para p maiores que esse valor, alguma tensão excederá um limite admissível (neste caso a compressão do magnésio na interface e, razoavelmente próximo, a compressão do alumínio também se aproxima do seu limite).

Passo 6

Verificações numéricas finais (garantir consistência das tensões no p crítico):
  • Para p=6\,881{,}1\\ \text{N/m} temos S=66\,000-31{,}5\cdot6\,881{,}1\approx -150\,781{,}5\\ \text{N}.
    • Tensão no alumínio: \sigma_{\text{Al}}=S/A\approx -150{,}781{,}5/0{,}001256637\approx -120{,}0\\ \text{MPa} (isto é, alumínio comprimido em cerca de -120\\ \text{MPa}, abaixo do limite de compressão -150\\ \text{MPa}; portanto ainda seguro).
    • Tensão no magnésio na face direita (interface): \sigma_{\text{Mg,right}}=-S/A\approx 150{,}781{,}5/0{,}001256637\approx 120{,}0\\ \text{MPa} (compressão máxima admissível do magnésio).
    • Tensão no magnésio na face esquerda: N(0)=-(S+pL_{\text{Mg}})\approx 130{,}138{,}5\\ \text{N} e \sigma_{\text{Mg,left}}=130{,}138{,}5/0{,}001256637\approx103{,}6\\ \text{MPa} (menor que o admissível).
      Logo, no valor crítico encontrado o magnésio atinge exatamente sua compressão admissível e o alumínio ainda está dentro de seu limite (em compressão, mas abaixo do limite de compressão). Assim o valor crítico correto é o menor p que provoca violação; isto é o item (2), cerca de 6{,}881\\ \text{N/m}.

Resposta

p_{\max}\approx 6{,}881\\ \text{N/m}

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