1. (Valor - 11 Pontos) - Durante o estágio em um escritório de engenharia, foi-lhe solicitado:
a) determinar o valor máximo de \mathbf{T} (torque máximo), para o eixo engastado em “A”, constituído por dois materiais e dois diâmetros distintos, sem que as tensões admissíveis sejam ultrapassadas. O elemento estrutural está submetido aos momentos torsores apresentados.
  • Trecho A-B - diâmetro =40 \mathrm{~mm}, \boldsymbol{\tau}_{\mathrm{adm}}=\mathbf{6 0 ~ M P a} .- Material I
  • Trecho B-C - diâmetro =\mathbf{1 5 ~ m m}, \boldsymbol{\tau}_{\text {adm }}=\mathbf{8 0 ~ M P a}. - Material II

Passo 1

O que o enunciado pede:
  • Determinar o valor máximo de T (o “T” mostrado na figura) de modo que nenhuma das tensões cisalhantes admissíveis dos dois trechos do eixo seja ultrapassada.
Informações fornecidas (extraídas da figura / enunciado):
  • Trecho A–B:
    • diâmetro =40\\ \mathrm{mm},
    • \tau_{\mathrm{adm}}=60\\ \mathrm{MPa} (Material I).
  • Trecho B–C:
    • diâmetro =15\\ \mathrm{mm},
    • \tau_{\mathrm{adm}}=80\\ \mathrm{MPa} (Material II).
  • Há um torque aplicado no extremo direito em C igual a 3T (seta para a direita, conforme figura).
  • (Na figura aparece também uma densidade de momento torçor ao longo de A–B de 2\\ \mathrm{kN\cdot m/m}; esta informação será mencionada nas etapas onde for relevante.)
O que vamos procurar:
  • Encontrar, por equilíbrio e pelas fórmulas de torção, a expressão do esforço torçor interno em cada trecho e impor \tau_{\max}\le \tau_{\mathrm{adm}} em cada trecho para obter limites sobre T. A solução numérica final virá da desigualdade mais restritiva.

Passo 2

Relembrando a fórmula básica de torção para eixos circulares sólidos — a “aula rápida” que faz falta:
  • Para um eixo circular sólido submetido a um torque interno M (ou T, alguns autores usam T para torque), a tensão cisalhante máxima na superfície é dada por
\tau_{\max}=\frac{M\,c}{J},
onde:
  • M é o torque interno (em N·m),
  • c é o raio da seção circular (em m),
  • J é o momento polar de inércia da seção (em m^4).
  • Para uma seção circular maciça de diâmetro d:
J=\frac{\pi d^{4}}{32},
e c=\dfrac{d}{2}.
Explicando em palavras: o torque cria uma distribuição de tensão que é máxima na superfície; a capacidade do eixo depende de J (que cresce muito com d) e do raio c.

Passo 3

Determinar o torque interno em cada trecho (equilíbrio estático, observando a figura):
  • Observando a figura, no trecho entre B e C não aparece outra aplicação de torque exceto o torque de 3T aplicado em C. Portanto, qualquer seção entre B e C “vê” um torque interno de magnitude 3T. Em outras palavras, o torque interno no trecho B–C é
M_{BC}=3T.
(Esta conclusão é obtida por equilíbrio do segmento cortado entre um ponto qualquer em B\!-\!C e o extremo C: só há o torque concentrado 3T.)
  • No trecho A–B há, além do efeito transmitido a partir da direita, uma densidade de momento mostrada na figura ( 2\\ \mathrm{kN\cdot m/m} ). Essa densidade produz um momento resultante que depende do comprimento de A–B. Como veremos adiante, o trecho mais crítico será o fino (B–C) e o limite imposto por B–C não depende do comprimento de A–B. Por isso a avaliação numérica final do T pode ser feita usando só o trecho B–C; mesmo assim vamos calcular a capacidade do trecho A–B para confirmar qual trecho domina.

Passo 4

Passo a passo do cálculo numérico — preparar unidades e dados:
  • Trabalhar em unidades SI (metros, N, Pa). Converter diâmetros:
    • Trecho A–B: d_1=40\\ \mathrm{mm}=0,040\\ \mathrm{m}.
    • Trecho B–C: d_2=15\\ \mathrm{mm}=0,015\\ \mathrm{m}.
  • Raios:
    • c_1=\dfrac{d_1}{2}=0,020\\ \mathrm{m}.
    • c_2=\dfrac{d_2}{2}=0,0075\\ \mathrm{m}.
  • Tensões admissíveis (convertidas para Pa):
    • \tau_{\mathrm{adm},1}=60\\ \mathrm{MPa}=60\times10^{6}\\ \mathrm{N/m^{2}}.
    • \tau_{\mathrm{adm},2}=80\\ \mathrm{MPa}=80\times10^{6}\\ \mathrm{N/m^{2}}.
Calcular J para cada seção:
J=\frac{\pi d^{4}}{32}.
  • Para o diâmetro d_2=0,015\\ \mathrm{m}:
d_2^{4}=(0,015)^{4}=5{,}0625\times10^{-8}\\ \mathrm{m^{4}},
J_2=\frac{\pi}{32}\,d_2^{4}\approx 0{,}09817477\times 5{,}0625\times10^{-8}\approx 4{,}969\times10^{-9}\\ \mathrm{m^{4}}.
  • Para o diâmetro d_1=0,040\\ \mathrm{m}:
d_1^{4}=(0,040)^{4}=2{,}56\times10^{-6}\\ \mathrm{m^{4}},
J_1=\frac{\pi}{32}\,d_1^{4}\approx 0{,}09817477\times 2{,}56\times10^{-6}\approx 2{,}514\times10^{-7}\\ \mathrm{m^{4}}.

Passo 5

Usar a fórmula de torção no trecho B–C (trecho fino), que tem torque interno M_{BC}=3T:
  • Condição admissível:
\frac{M_{BC}\,c_2}{J_2}\le \tau_{\mathrm{adm},2}.
Substituindo M_{BC}=3T:
\frac{3T\;c_2}{J_2}\le \tau_{\mathrm{adm},2} \quad\Rightarrow\quad T\le \frac{\tau_{\mathrm{adm},2}\,J_2}{3\,c_2}.
Agora colocamos valores numéricos:
T\le \frac{80\times10^{6}\times 4{,}969\times10^{-9}}{3\times 0{,}0075}.
Calcule o numerador:
80\times10^{6}\times 4{,}969\times10^{-9}\approx 0{,}3975\\ (\mathrm{N\cdot m}).
Dividindo pelo denominador 3\times0{,}0075=0{,}0225:
T\le \frac{0{,}3975}{0{,}0225}\approx 17{,}67\\ \mathrm{N\cdot m}.
Portanto, a partir do trecho fino B–C obtemos
T_{\max}^{(BC)}\approx 17{,}7\\ \mathrm{N\cdot m}\quad\bigl(=0{,}0177\\ \mathrm{kN\cdot m}\bigr).
Comentário didático: note que esse limite não depende de comprimentos nem da densidade de momento em A–B porque o torque interno no trecho B–C é simplesmente 3T, que vem do torque concentrado no extremo C.

Passo 6

Verificação do trecho A–B (trecho mais grosso): confirmar que sua capacidade é muito maior e, portanto, ele não é o elemento crítico:
  • Se por hipótese o torque interno no trecho A–B fosse igual a T (ou mesmo uma orden de grandeza parecida), a condição admissível seria
\frac{M_{AB}\,c_1}{J_1}\le \tau_{\mathrm{adm},1} \quad\Rightarrow\quad M_{AB}\le \frac{\tau_{\mathrm{adm},1}\,J_1}{c_1}.
Calcule a capacidade associada à seção grossa (assumindo M_{AB} em N·m):
M_{\text{cap},1}=\frac{60\times10^{6}\times 2{,}514\times10^{-7}}{0{,}020} \approx \frac{15{,}084}{0{,}020}\approx 754{,}2\\ \mathrm{N\cdot m}.
Observação: mesmo se M_{AB} fosse algumas centenas de N·m, ainda estaria muito abaixo de 754 N·m; portanto o trecho grosso tem folga muito grande em relação ao limite calculado para T. Assim o trecho crítico é o fino B–C, que dá T_{\max}\approx17{,}7\\ \mathrm{N\cdot m}.
Nota sobre a densidade de momento mostrada na figura: há uma densidade de 2\\ \mathrm{kN\cdot m/m} ao longo de A–B. Essa densidade afeta o torque resultante em A–B (e, portanto, o torque que chega na engastadura em A), mas não altera o torque interno em B–C (que é fixado por 3T aplicado em C). Por isso ela não muda o valor máximo de T determinado pela seção crítica B–C. Se fosse necessário verificar exatamente o torque em A ou reavaliar o trecho A–B com comprimento conhecido, bastaria integrar a densidade sobre o comprimento; mas isso não reduz o valor de T_{\max} já imposto pela seção mais fraca (B–C).

Passo 7

Interpretação final e resposta arredondada:
  • O trecho crítico é o B–C (diâmetro 15\\ \mathrm{mm}, \tau_{\mathrm{adm}}=80\\ \mathrm{MPa}).
  • A partir de \tau=\dfrac{M c}{J} com M_{BC}=3T obtém-se
T_{\max}\approx 17{,}7\\ \mathrm{N\cdot m}=0{,}0177\\ \mathrm{kN\cdot m}.

Resposta

T_{\max}\approx 17{,}7\\ \mathrm{N\cdot m}

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