- (Valor - 11 Pontos) - Durante o estágio em um escritório de engenharia, foi-lhe solicitado:
a) determinar o valor máximo de
(torque máximo), para o eixo engastado em “A”, constituído por dois materiais e dois diâmetros distintos, sem que as tensões admissíveis sejam ultrapassadas. O elemento estrutural está submetido aos momentos torsores apresentados.
- Trecho A-B - diâmetro
Material I
- Trecho B-C - diâmetro
. - Material II
Passo 1
O que o enunciado pede:
- Determinar o valor máximo de
(o “T” mostrado na figura) de modo que nenhuma das tensões cisalhantes admissíveis dos dois trechos do eixo seja ultrapassada.
Informações fornecidas (extraídas da figura / enunciado):
- Trecho A–B:
- diâmetro
, -
(Material I).
- diâmetro
- Trecho B–C:
- diâmetro
, -
(Material II).
- diâmetro
- Há um torque aplicado no extremo direito em
igual a (seta para a direita, conforme figura). - (Na figura aparece também uma densidade de momento torçor ao longo de A–B de
; esta informação será mencionada nas etapas onde for relevante.)
O que vamos procurar:
- Encontrar, por equilíbrio e pelas fórmulas de torção, a expressão do esforço torçor interno em cada trecho e impor
em cada trecho para obter limites sobre . A solução numérica final virá da desigualdade mais restritiva.
Passo 2
Relembrando a fórmula básica de torção para eixos circulares sólidos — a “aula rápida” que faz falta:
- Para um eixo circular sólido submetido a um torque interno
(ou , alguns autores usam para torque), a tensão cisalhante máxima na superfície é dada por
onde:
-
é o torque interno (em N·m), -
é o raio da seção circular (em m), -
é o momento polar de inércia da seção (em m^4). -
Para uma seção circular maciça de diâmetro
:
e
.
Explicando em palavras: o torque cria uma distribuição de tensão que é máxima na superfície; a capacidade do eixo depende de
(que cresce muito com
) e do raio
.
Passo 3
Determinar o torque interno em cada trecho (equilíbrio estático, observando a figura):
- Observando a figura, no trecho entre
e não aparece outra aplicação de torque exceto o torque de aplicado em . Portanto, qualquer seção entre e “vê” um torque interno de magnitude . Em outras palavras, o torque interno no trecho B–C é
(Esta conclusão é obtida por equilíbrio do segmento cortado entre um ponto qualquer em
e o extremo C: só há o torque concentrado
.)
- No trecho A–B há, além do efeito transmitido a partir da direita, uma densidade de momento mostrada na figura (
). Essa densidade produz um momento resultante que depende do comprimento de A–B. Como veremos adiante, o trecho mais crítico será o fino (B–C) e o limite imposto por B–C não depende do comprimento de A–B. Por isso a avaliação numérica final do pode ser feita usando só o trecho B–C; mesmo assim vamos calcular a capacidade do trecho A–B para confirmar qual trecho domina.
Passo 4
Passo a passo do cálculo numérico — preparar unidades e dados:
- Trabalhar em unidades SI (metros, N, Pa). Converter diâmetros:
- Trecho A–B:
. - Trecho B–C:
.
- Trecho A–B:
- Raios:
-
. -
.
-
- Tensões admissíveis (convertidas para Pa):
-
. -
.
-
Calcular
para cada seção:
- Para o diâmetro
:
- Para o diâmetro
:
Passo 5
Usar a fórmula de torção no trecho B–C (trecho fino), que tem torque interno
:
- Condição admissível:
Substituindo
:
Agora colocamos valores numéricos:
Calcule o numerador:
Dividindo pelo denominador
:
Portanto, a partir do trecho fino B–C obtemos
Comentário didático: note que esse limite não depende de comprimentos nem da densidade de momento em A–B porque o torque interno no trecho B–C é simplesmente
, que vem do torque concentrado no extremo
.
Passo 6
Verificação do trecho A–B (trecho mais grosso): confirmar que sua capacidade é muito maior e, portanto, ele não é o elemento crítico:
- Se por hipótese o torque interno no trecho A–B fosse igual a
(ou mesmo uma orden de grandeza parecida), a condição admissível seria
Calcule a capacidade associada à seção grossa (assumindo
em N·m):
Observação: mesmo se
fosse algumas centenas de N·m, ainda estaria muito abaixo de 754 N·m; portanto o trecho grosso tem folga muito grande em relação ao limite calculado para
. Assim o trecho crítico é o fino B–C, que dá
.
Nota sobre a densidade de momento mostrada na figura: há uma densidade de
ao longo de A–B. Essa densidade afeta o torque resultante em A–B (e, portanto, o torque que chega na engastadura em
), mas não altera o torque interno em B–C (que é fixado por
aplicado em
). Por isso ela não muda o valor máximo de
determinado pela seção crítica B–C. Se fosse necessário verificar exatamente o torque em
ou reavaliar o trecho A–B com comprimento conhecido, bastaria integrar a densidade sobre o comprimento; mas isso não reduz o valor de
já imposto pela seção mais fraca (B–C).
Passo 7
Interpretação final e resposta arredondada:
- O trecho crítico é o B–C (diâmetro
, ). - A partir de
com obtém-se