(Valor: 20) 3)- A água escoa a
em um cano horizontal de raio 4 cm , sob a pressão de 200 kPa . Em um determinado ponto o cano se estreita à 2 cm .
a) Qual é a velocidade da água na seção estreita do cano?
b) Qual é a pressāo na seção estreita?
c) Como se comparam as vazōes volumétricas nas duas seçōes?
a) Qual é a velocidade da água na seção estreita do cano?
b) Qual é a pressāo na seção estreita?
c) Como se comparam as vazōes volumétricas nas duas seçōes?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede três coisas:
Dados fornecidos:
- velocidade da água na seção larga:
; - raio da seção larga:
; - pressão na seção larga:
; - raio da seção estreita:
.
Questões pedidas:
a) Qual a velocidade da água na seção estreita ( )?
b) Qual a pressão na seção estreita ( )?
c) Como se comparam as vazões volumétricas nas duas seções (são iguais ou diferentes; calcular valor numérico se necessário)?
a) Qual a velocidade da água na seção estreita (
b) Qual a pressão na seção estreita (
c) Como se comparam as vazões volumétricas nas duas seções (são iguais ou diferentes; calcular valor numérico se necessário)?
Passo 2
Vamos usar a conservação da massa para fluido incompressível (equação da continuidade). O enunciado não menciona compressibilidade nem variação de altura, então é razoável tratar a água como incompressível e o escoamento como estacionário. A equação da continuidade diz que a vazão volumétrica
é a mesma em qualquer seção do cano:
onde
é a área da seção transversal e
é a velocidade média naquela seção. Aqui
. Esta fórmula significa: a quantidade de volume de fluido que passa por uma seção por segundo é constante ao longo do cano (se não houver entradas/saídas laterais).
Passo 3
Calculemos a razão das áreas e a velocidade
. As áreas são
A razão
é
Da continuidade
obtemos
Substituindo
,
Passo 4
Agora vamos encontrar a pressão na seção estreita usando a equação de Bernoulli para escoamento incompressível, sem variação de altura (cano horizontal) e desprezando perdas por atrito:
onde
é pressão e
é a densidade da água. Explicando as variáveis:
-
e são pressões nas seções 1 e 2 (Pa); -
e são velocidades médias (m/s); -
é a densidade do fluido; para água líquida usamos .
A equação de Bernoulli diz que, ao longo de uma linha de corrente em escoamento estacionário e sem trabalho/atrito, a soma da pressão estática e da pressão dinâmica (
) é constante. Como
, espera-se que
.
Passo 5
Isolando
da equação de Bernoulli:
Substituímos os valores (
,
,
,
):
Então
Calcule o termo dinâmico:
Portanto
Passo 6
Comparemos as vazões volumétricas numericamente para confirmar a continuidade. A vazão em qualquer seção é
.
Calcule
:
Calcule
:
Portanto
. Avaliando numericamente
(aproximadamente).
Isto confirma que as vazões volumétricas nas duas seções são iguais, como impõe a continuidade para fluido incompressível.
Resposta
a)
b)
c) As vazões são iguais:
b)
c) As vazões são iguais: