(Valor: 20) 3)- A água escoa a 3 \mathrm{~m} / \mathrm{s} em um cano horizontal de raio 4 cm , sob a pressão de 200 kPa . Em um determinado ponto o cano se estreita à 2 cm .
a) Qual é a velocidade da água na seção estreita do cano?
b) Qual é a pressāo na seção estreita?
c) Como se comparam as vazōes volumétricas nas duas seçōes?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede três coisas:
Dados fornecidos:
  • velocidade da água na seção larga: v_1 = 3\\ \mathrm{m/s};
  • raio da seção larga: r_1 = 4\\ \mathrm{cm} = 0,04\\ \mathrm{m};
  • pressão na seção larga: p_1 = 200\\ \mathrm{kPa} = 200000\\ \mathrm{Pa};
  • raio da seção estreita: r_2 = 2\\ \mathrm{cm} = 0,02\\ \mathrm{m}.
Questões pedidas:
a) Qual a velocidade da água na seção estreita ( v_2)?
b) Qual a pressão na seção estreita ( p_2)?
c) Como se comparam as vazões volumétricas nas duas seções (são iguais ou diferentes; calcular valor numérico se necessário)?

Passo 2

Vamos usar a conservação da massa para fluido incompressível (equação da continuidade). O enunciado não menciona compressibilidade nem variação de altura, então é razoável tratar a água como incompressível e o escoamento como estacionário. A equação da continuidade diz que a vazão volumétrica Q é a mesma em qualquer seção do cano:
Q = A_1 v_1 = A_2 v_2,
onde A é a área da seção transversal e v é a velocidade média naquela seção. Aqui A = \pi r^2. Esta fórmula significa: a quantidade de volume de fluido que passa por uma seção por segundo é constante ao longo do cano (se não houver entradas/saídas laterais).

Passo 3

Calculemos a razão das áreas e a velocidade v_2. As áreas são
A_1 = \pi r_1^2 = \pi (0,04)^2,\qquad A_2 = \pi r_2^2 = \pi (0,02)^2.
A razão A_1/A_2 é
\frac{A_1}{A_2} = \frac{r_1^2}{r_2^2} = \left(\frac{0,04}{0,02}\right)^2 = 2^2 = 4.
Da continuidade A_1 v_1 = A_2 v_2 obtemos
v_2 = \frac{A_1}{A_2}\,v_1 = 4\,v_1.
Substituindo v_1 = 3\\ \mathrm{m/s},
v_2 = 4 \cdot 3\\ \mathrm{m/s} = 12\\ \mathrm{m/s}.

Passo 4

Agora vamos encontrar a pressão na seção estreita usando a equação de Bernoulli para escoamento incompressível, sem variação de altura (cano horizontal) e desprezando perdas por atrito:
p_1 + \tfrac{1}{2}\rho v_1^2 = p_2 + \tfrac{1}{2}\rho v_2^2,
onde p é pressão e \rho é a densidade da água. Explicando as variáveis:
  • p_1 e p_2 são pressões nas seções 1 e 2 (Pa);
  • v_1 e v_2 são velocidades médias (m/s);
  • \rho é a densidade do fluido; para água líquida usamos \rho = 1000\\ \mathrm{kg/m^3}.
A equação de Bernoulli diz que, ao longo de uma linha de corrente em escoamento estacionário e sem trabalho/atrito, a soma da pressão estática e da pressão dinâmica ( \tfrac{1}{2}\rho v^2) é constante. Como v_2>v_1, espera-se que p_2<p_1.

Passo 5

Isolando p_2 da equação de Bernoulli:
p_2 = p_1 + \tfrac{1}{2}\rho\big(v_1^2 - v_2^2\big).
Substituímos os valores ( \rho = 1000\\ \mathrm{kg/m^3}, v_1 = 3\\ \mathrm{m/s}, v_2 = 12\\ \mathrm{m/s}, p_1 = 200000\\ \mathrm{Pa}):
v_1^2 = 3^2 = 9,\qquad v_2^2 = 12^2 = 144,
v_1^2 - v_2^2 = 9 - 144 = -135.
Então
p_2 = 200000 + \tfrac{1}{2}\cdot 1000 \cdot (-135)\\ \mathrm{Pa}.
Calcule o termo dinâmico:
\tfrac{1}{2}\cdot 1000 \cdot 135 = 500 \cdot 135 = 67500\\ \mathrm{Pa}.
Portanto
p_2 = 200000 - 67500 = 132500\\ \mathrm{Pa} = 132,5\\ \mathrm{kPa}.

Passo 6

Comparemos as vazões volumétricas numericamente para confirmar a continuidade. A vazão em qualquer seção é Q = A v = \pi r^2 v.
Calcule Q_1:
Q_1 = \pi (0,04)^2 \cdot 3 = \pi \cdot 0,0016 \cdot 3 = \pi \cdot 0,0048.
Calcule Q_2:
Q_2 = \pi (0,02)^2 \cdot 12 = \pi \cdot 0,0004 \cdot 12 = \pi \cdot 0,0048.
Portanto Q_1 = Q_2 = \pi \cdot 0,0048\\ \mathrm{m^3/s}. Avaliando numericamente \pi \cdot 0,0048 \approx 0,01508\\ \mathrm{m^3/s} (aproximadamente).
Isto confirma que as vazões volumétricas nas duas seções são iguais, como impõe a continuidade para fluido incompressível.

Resposta

a) v_2 = 12\\ \mathrm{m/s}
b) p_2 = 132500\\ \mathrm{Pa} = 132,5\\ \mathrm{kPa}
c) As vazões são iguais: Q_1 = Q_2 = \pi\cdot 0,0048\\ \mathrm{m^3/s}\approx 0,01508\\ \mathrm{m^3/s}

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