(
) - Um pêndulo com comprimento de
é solto de um ângulo inicial de
. Após
, devid ao força de arraste do ar, sua amplitude foi reduzida para
. Determine: o (a)o valor de
e (b) a perda d energia média por ciclo.
Passo 1
O enunciado dá um pêndulo com comprimento
que é solto com amplitude angular inicial
. Depois de
a amplitude foi reduzida para
devido ao arraste do ar. Pede-se:
(a) o valor de (constante de decaimento da amplitude) e (b) a perda de energia média por ciclo.
Dados relevantes listados:
,
,
,
, e vamos usar
.
(a) o valor de
Dados relevantes listados:
Passo 2
Modelo físico e definição de
. Para amortecimento fraco (arraste pequeno) a solução do oscilador amortecido é uma oscilação cuja envoltória da amplitude decai exponencialmente. Ou seja a amplitude em função do tempo pode ser escrita como
onde
é a constante de tempo do decaimento da amplitude (definição: tempo característico para a amplitude cair por um fator
). Aqui não precisamos do coeficiente de amortecimento explícito, apenas desta forma exponencial da envoltória. Esta é uma aproximação padrão para amortecimento leve e pequenas amplitudes.
Passo 3
Determinar
usando os dados. Substituindo
,
e
na expressão da envoltória:
Dividindo ambos os lados por
e tomando logaritmo:
Aplicando log natural,
Agora calcular numericamente:
, então
Interpretação: a amplitude diminui com constante de tempo
.
Passo 4
Período do pêndulo (pequeno ângulo). Para pequenas oscilações o período é dado por
Aqui
e
, então
Passo 5
Relação entre energia e amplitude para pequenas oscilações. A energia mecânica máxima (potencial máxima) para amplitude angular
é
Para
pequeno podemos usar a aproximação
, daí
Logo a energia é proporcional a
. Se
, então a energia decai como
onde
é a energia inicial correspondente a
.
Passo 6
Perda média de energia por ciclo (fração e valor por unidade de massa). A perda de energia após um ciclo (tempo
) é
A fração da energia perdida por ciclo é, portanto,
Agora substituir os valores numéricos
e
:
Em porcentagem:
da energia é perdida a cada ciclo (média por ciclo).
Se quiser o valor absoluto da perda por ciclo em joules é preciso a massa
. Podemos dar
em função de
:
Como exemplo numérico por unidade de massa (ou seja tomando
):
então
Se a massa for conhecida, multiplica-se este valor por
para obter
em joules.
Resposta
Perda média por ciclo
Em termos de energia absoluta: