( 2,0 \mathrm{pt} ) - Um pêndulo com comprimento de 1,00 \mathrm{~m} é solto de um ângulo inicial de 10^{\circ}. Após 3,00 \mathrm{~s}, devid ao força de arraste do ar, sua amplitude foi reduzida para 8^{\circ}. Determine: o (a)o valor de \tau e (b) a perda d energia média por ciclo.

Passo 1

O enunciado dá um pêndulo com comprimento \,1{,}00\\ \mathrm{m}\, que é solto com amplitude angular inicial \,\theta_0=10^\circ. Depois de 3{,}00\\ \mathrm{s} a amplitude foi reduzida para \,\theta(3{,}00\\ \mathrm{s})=8^\circ devido ao arraste do ar. Pede-se:
(a) o valor de \tau (constante de decaimento da amplitude) e (b) a perda de energia média por ciclo.
Dados relevantes listados:
\,L=1{,}00\\ \mathrm{m}\,, \,\theta_0=10^\circ, \,\theta(3{,}00\\ \mathrm{s})=8^\circ, \,t=3{,}00\\ \mathrm{s}, e vamos usar g=9{,}80\\ \mathrm{m/s^2}.

Passo 2

Modelo físico e definição de \tau. Para amortecimento fraco (arraste pequeno) a solução do oscilador amortecido é uma oscilação cuja envoltória da amplitude decai exponencialmente. Ou seja a amplitude em função do tempo pode ser escrita como
\theta(t)=\theta_0\,e^{-t/\tau},
onde \tau é a constante de tempo do decaimento da amplitude (definição: tempo característico para a amplitude cair por um fator e). Aqui não precisamos do coeficiente de amortecimento explícito, apenas desta forma exponencial da envoltória. Esta é uma aproximação padrão para amortecimento leve e pequenas amplitudes.

Passo 3

Determinar \tau usando os dados. Substituindo t=3{,}00\\ \mathrm{s}, \theta(3)=8^\circ e \theta_0=10^\circ na expressão da envoltória:
8^\circ = 10^\circ\,e^{-3{,}00/\tau}.
Dividindo ambos os lados por 10^\circ e tomando logaritmo:
\frac{8}{10}=e^{-3/\tau}\quad\Rightarrow\quad e^{-3/\tau}=0{,}8.
Aplicando log natural,
-\frac{3}{\tau}=\ln(0{,}8)\quad\Rightarrow\quad \tau=-\frac{3}{\ln(0{,}8)}=\frac{3}{\ln(1{,}25)}.
Agora calcular numericamente: \ln(1{,}25)\approx 0{,}22314355, então
\tau \approx \frac{3}{0{,}22314355}\approx 13{,}44\\ \mathrm{s}.
Interpretação: a amplitude diminui com constante de tempo \tau\approx 13{,}44\\ \mathrm{s}.

Passo 4

Período do pêndulo (pequeno ângulo). Para pequenas oscilações o período é dado por
T = 2\pi\sqrt{\frac{L}{g}}.
Aqui L=1{,}00\\ \mathrm{m} e g=9{,}80\\ \mathrm{m/s^2}, então
T = 2\pi\sqrt{\frac{1{,}00}{9{,}80}}\approx 2\pi\times 0{,}319275\approx 2{,}006\\ \mathrm{s}\approx 2{,}01\\ \mathrm{s}.

Passo 5

Relação entre energia e amplitude para pequenas oscilações. A energia mecânica máxima (potencial máxima) para amplitude angular \theta é
E_{\max}=mgL\bigl(1-\cos\theta\bigr).
Para \theta pequeno podemos usar a aproximação \cos\theta\approx 1-\theta^2/2, daí
E_{\max}\approx mgL\frac{\theta^2}{2}.
Logo a energia é proporcional a \theta^2. Se \theta(t)=\theta_0 e^{-t/\tau}, então a energia decai como
E(t)=E_0\,e^{-2t/\tau},
onde E_0 é a energia inicial correspondente a \theta_0.

Passo 6

Perda média de energia por ciclo (fração e valor por unidade de massa). A perda de energia após um ciclo (tempo T) é
\Delta E = E(t)-E(t+T)=E(t)\bigl(1-e^{-2T/\tau}\bigr).
A fração da energia perdida por ciclo é, portanto,
\frac{\Delta E}{E} = 1-e^{-2T/\tau}.
Agora substituir os valores numéricos T\approx 2{,}006\\ \mathrm{s} e \tau\approx 13{,}44\\ \mathrm{s}:
\frac{\Delta E}{E} = 1-\exp\!\bigl(-2\cdot 2{,}006/13{,}44\bigr) =1-\exp(-0{,}2985)\approx 1-0{,}7420\approx 0{,}2580.
Em porcentagem: \approx 25{,}8\% da energia é perdida a cada ciclo (média por ciclo).
Se quiser o valor absoluto da perda por ciclo em joules é preciso a massa m. Podemos dar \Delta E em função de m:
E_0 = mgL\bigl(1-\cos\theta_0\bigr),\qquad \Delta E = E_0\bigl(1-e^{-2T/\tau}\bigr).
Como exemplo numérico por unidade de massa (ou seja tomando m=1\\ \mathrm{kg}):
E_0/m = gL\bigl(1-\cos 10^\circ\bigr)\approx 9{,}80\times 1\times 0{,}015192\approx 0{,}1489\\ \mathrm{J/kg},
então
\Delta E/m \approx 0{,}1489\times 0{,}2580\approx 0{,}0384\\ \mathrm{J/kg}\\ \text{por ciclo}.
Se a massa for conhecida, multiplica-se este valor por m para obter \Delta E em joules.

Resposta

\tau \approx 13{,}44\\ \mathrm{s}
Perda média por ciclo =\;1-e^{-2T/\tau}\approx 0{,}2580 (ou 25{,}8\% da energia por ciclo).
Em termos de energia absoluta: \displaystyle \Delta E = E_0\bigl(1-e^{-2T/\tau}\bigr) com E_0=mgL(1-\cos 10^\circ); numericamente por kg \Delta E/m\approx 0{,}0384\\ \mathrm{J/kg} por ciclo.

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