( 2.0 pt ) - Um sistema é constituido de uma pequena esfera metálica (diâmetro de 12 cm e massa 16 kg ) presa a uma mola
e submersa em um fluido com viscosidade de 1,15 Pa.s. Você precisa deixar o sistema em ressonância e com amplitude de oscilação de 10 cm . (a) Qual deve ser a magnitude da força externa oscilante ? (b) Caso o sistema nâo esteja em ressonância, qual o fator de qualidade ?
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: (a) a magnitude da força externa oscilante necessária para deixar o sistema em ressonância com amplitude de oscilação de
; (b) caso o sistema não esteja em ressonância, o valor do fator de qualidade.
Dados fornecidos (listei tudo explicitamente para não nos perder):
Dados fornecidos (listei tudo explicitamente para não nos perder):
- diâmetro da esfera:
(portanto raio é metade do diâmetro); - massa da esfera:
; - constante da mola:
; - viscosidade dinâmica do fluido:
; - amplitude desejada da oscilação em ressonância:
.
Perguntas explícitas:
(a) Qual deve ser a magnitude da força externa oscilante (amplitude da força) para obter amplitude deem ressonância?
(b) Qual é o fator de qualidadedo sistema (se não for ressonante)?
Passo 2
Modelo físico e fórmulas essenciais (explicadinho passo a passo). Vou modelar o sistema como um oscilador harmônico forçado com amortecimento linear. As forças importantes: força elástica da mola, força de amortecimento viscoso e força externa oscilante. As fórmulas que usaremos são:
- coeficiente de amortecimento (para uma esfera em fluido, usamos a lei de Stokes para arrasto linear):
onde
é a viscosidade dinâmica (em
) e
é o raio da esfera (em
). Essa fórmula vale quando o arrasto é viscoso e linear (regime de baixos números de Reynolds), que é a hipótese usual em exercícios assim.
- frequência natural (não amortecida) do sistema massa-mola:
onde
deve estar em
e
em
.
- resposta em regime estacionário à força externa
: a amplitude de deslocamento em função da frequência de excitação é
No máximo de amplitude (ressonância efetiva para sistema amortecido), a frequência de pico é
e a amplitude máxima correspondente (valor de
no pico) pode ser escrita como (usando o
que minimiza o denominador)
Essa última expressão é útil porque isola
quando queremos uma amplitude dada na ressonância.
- fator de qualidade
(medida de quão pouco amortecido é o sistema) pode ser expresso por
Essa expressão vem da definição
com
.
é adimensional.
Passo 3
Conversões numéricas iniciais e cálculo do coeficiente de amortecimento
. Primeiro convertemos as unidades para o SI:
- raio da esfera: diâmetro
raio . - constante da mola:
. - amplitude desejada:
.
Agora calculamosusando a lei de Stokes:
Substituindo
e
:
Vamos calcular isso passo a passo:
. Em seguida
. Multiplicando por
:
Passo 4
Cálculo da frequência natural
e verificação de que o amortecimento é pequeno (para justificar aproximações). Usamos
Calculemos:
Agora avaliamos o termo que corrige a frequência de ressonância exata:
Comparando com
, o termo subtraído é insignificante, então
Conclusão: amortecimento é pequeno e podemos usar
com segurança (a diferença é desprezível para os dígitos que importam).
Passo 5
Encontrar a amplitude da força externa necessária em ressonância. Como vimos, na ressonância (usando
) a amplitude máxima responde por
Queremos
. Isolando
:
Substituindo os valores numéricos:
Calcule passo a passo: primeiro
. Multiplicando por
dá
Arredondando de forma razoável (duas ou três casas significativas) temos
Passo 6
Cálculo do fator de qualidade
. Usamos a fórmula
Substituindo os números:
Arredondando de forma prática:
Interpretação rápida (pra você levar pra prova):
grande significa que o sistema é pouco amortecido e tem picos de ressonância bem pronunciados; aqui
indica amortecimento muito pequeno.
Resposta
(a)
(b)
(b)