( 2.0 pt ) - Um sistema é constituido de uma pequena esfera metálica (diâmetro de 12 cm e massa 16 kg ) presa a uma mola (k=30 \mathrm{~N} / \mathrm{cm}) e submersa em um fluido com viscosidade de 1,15 Pa.s. Você precisa deixar o sistema em ressonância e com amplitude de oscilação de 10 cm . (a) Qual deve ser a magnitude da força externa oscilante ? (b) Caso o sistema nâo esteja em ressonância, qual o fator de qualidade ?

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (a) a magnitude da força externa oscilante necessária para deixar o sistema em ressonância com amplitude de oscilação de 10\\ \text{cm}; (b) caso o sistema não esteja em ressonância, o valor do fator de qualidade.
Dados fornecidos (listei tudo explicitamente para não nos perder):
  • diâmetro da esfera: 12\\ \text{cm} (portanto raio r é metade do diâmetro);
  • massa da esfera: m=16\\ \text{kg};
  • constante da mola: k=30\\ \text{N/cm};
  • viscosidade dinâmica do fluido: \eta=1{,}15\\ \text{Pa}\cdot\text{s};
  • amplitude desejada da oscilação em ressonância: X=10\\ \text{cm}.

    Perguntas explícitas:

    (a) Qual deve ser a magnitude da força externa oscilante (amplitude da força) para obter amplitude de 10\\ \text{cm} em ressonância?
    (b) Qual é o fator de qualidade Q do sistema (se não for ressonante)?

Passo 2

Modelo físico e fórmulas essenciais (explicadinho passo a passo). Vou modelar o sistema como um oscilador harmônico forçado com amortecimento linear. As forças importantes: força elástica da mola, força de amortecimento viscoso e força externa oscilante. As fórmulas que usaremos são:
  • coeficiente de amortecimento (para uma esfera em fluido, usamos a lei de Stokes para arrasto linear):
c = 6\pi \eta r,
onde \eta é a viscosidade dinâmica (em \text{Pa}\cdot\text{s}) e r é o raio da esfera (em \text{m}). Essa fórmula vale quando o arrasto é viscoso e linear (regime de baixos números de Reynolds), que é a hipótese usual em exercícios assim.
  • frequência natural (não amortecida) do sistema massa-mola:
\omega_0=\sqrt{\frac{k}{m}},
onde k deve estar em \text{N/m} e m em \text{kg}.
  • resposta em regime estacionário à força externa F(t)=F_0\sin(\omega t): a amplitude de deslocamento em função da frequência de excitação \omega é
X(\omega)=\frac{F_0}{\sqrt{(k-m\omega^2)^2+(c\omega)^2}}.
No máximo de amplitude (ressonância efetiva para sistema amortecido), a frequência de pico é
\omega_{\text{res}}=\sqrt{\omega_0^2-\frac{c^2}{2m^2}},
e a amplitude máxima correspondente (valor de X no pico) pode ser escrita como (usando o \omega_{\text{res}} que minimiza o denominador)
X_{\max}=\frac{F_0}{c\,\omega_{\text{res}}}.
Essa última expressão é útil porque isola F_0 quando queremos uma amplitude dada na ressonância.
  • fator de qualidade Q (medida de quão pouco amortecido é o sistema) pode ser expresso por
Q=\frac{m\omega_0}{c}.
Essa expressão vem da definição Q=\omega_0/(2\gamma) com \gamma=c/(2m). Q é adimensional.

Passo 3

Conversões numéricas iniciais e cálculo do coeficiente de amortecimento c. Primeiro convertemos as unidades para o SI:
  • raio da esfera: diâmetro 12\\ \text{cm}\Rightarrow raio r=6\\ \text{cm}=0{,}06\\ \text{m}.
  • constante da mola: k=30\\ \text{N/cm}=30\times 100\\ \text{N/m}=3000\\ \text{N/m}.
  • amplitude desejada: X=10\\ \text{cm}=0{,}10\\ \text{m}.

    Agora calculamos c usando a lei de Stokes:
c=6\pi\eta r.
Substituindo \eta=1{,}15\\ \text{Pa}\cdot\text{s} e r=0{,}06\\ \text{m}:
c=6\pi\cdot 1{,}15\cdot 0{,}06.
Vamos calcular isso passo a passo: 6\cdot 0{,}06=0{,}36. Em seguida 0{,}36\cdot 1{,}15=0{,}414. Multiplicando por \pi:
c \approx 0{,}414\pi \approx 1{,}300619357\\ \text{N}\cdot\text{s/m}.

Passo 4

Cálculo da frequência natural \omega_0 e verificação de que o amortecimento é pequeno (para justificar aproximações). Usamos
\omega_0=\sqrt{\frac{k}{m}}=\sqrt{\frac{3000}{16}}.
Calculemos:
\omega_0=\sqrt{187{,}5}\approx 13{,}69306394\\ \text{rad/s}.
Agora avaliamos o termo que corrige a frequência de ressonância exata:
\frac{c^2}{2m^2}=\frac{(1{,}30062)^2}{2\cdot 16^2}\approx \frac{1{,}6916}{512}\approx 0{,}003304.
Comparando com \omega_0^2=187{,}5, o termo subtraído é insignificante, então
\omega_{\text{res}}=\sqrt{\omega_0^2-\frac{c^2}{2m^2}}\approx \omega_0\approx 13{,}693\\ \text{rad/s}.
Conclusão: amortecimento é pequeno e podemos usar \omega_{\text{res}}\approx\omega_0 com segurança (a diferença é desprezível para os dígitos que importam).

Passo 5

Encontrar a amplitude da força externa necessária em ressonância. Como vimos, na ressonância (usando \omega_{\text{res}}) a amplitude máxima responde por
X_{\max}=\frac{F_0}{c\,\omega_{\text{res}}}.
Queremos X_{\max}=X=0{,}10\\ \text{m}. Isolando F_0:
F_0 = X\,c\,\omega_{\text{res}} \approx X\,c\,\omega_0.
Substituindo os valores numéricos:
F_0 \approx 0{,}10\cdot 1{,}300619357\cdot 13{,}69306394.
Calcule passo a passo: primeiro c\omega_0\approx 1{,}300619357\cdot 13{,}69306394\approx 17{,}80946396. Multiplicando por X=0{,}10
F_0 \approx 1{,}780946396\\ \text{N}.
Arredondando de forma razoável (duas ou três casas significativas) temos
F_0 \approx 1{,}78\\ \text{N}.

Passo 6

Cálculo do fator de qualidade Q. Usamos a fórmula
Q=\frac{m\omega_0}{c}.
Substituindo os números:
Q=\frac{16\cdot 13{,}69306394}{1{,}300619357}\approx \frac{219{,}088}{1{,}300619357}\approx 168{,}50.
Arredondando de forma prática:
Q \approx 168{,}5.
Interpretação rápida (pra você levar pra prova): Q grande significa que o sistema é pouco amortecido e tem picos de ressonância bem pronunciados; aqui Q\approx 168 indica amortecimento muito pequeno.

Resposta

(a) F_0 \approx 1{,}78\\ \text{N}
(b) Q \approx 168{,}5

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