Para que valor do ângulo
as tensões normais
são máximas e qual o valor dessas tensèes? (2,5 pts)
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos uma questão de mecânica dos materiais que pergunta para qual valor do ângulo
as tensões normais
são máximas e qual é esse valor máximo. Para resolver isso, vamos precisar usar a teoria de transformação de tensões e um pouco de cálculo para encontrar onde a tensão normal atinge seu pico.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a fórmula que expressa a tensão normal
em um plano inclinado a um ângulo
. Essa fórmula é dada por:
Aqui,
e
são as tensões normais nos eixos x e y, respectivamente, e
é a tensão de cisalhamento atuando no plano.
Passo 3
Para encontrar o ângulo
que faz com que
seja máxima, precisamos derivar
em relação a
e igualar a derivada a zero. Vamos fazer isso passo a passo:
Primeiro, calculamos a derivada de
em relação a
:
Simplificando:
Passo 4
Agora, igualamos a derivada a zero para encontrar o ponto máximo:
Vamos resolver essa equação para
. Primeiro, reescrevemos:
Dividindo ambos os lados por
:
Passo 5
Para encontrar
, tiramos o arco-tangente dos dois lados:
Portanto, isolando
:
Passo 6
Agora que temos o valor de
, vamos encontrar o valor máximo da tensão normal
. Substituímos
na fórmula original:
Resposta
O ângulo
que maximiza as tensões normais
é:
E o valor máximo dessas tensões é: