Para que valor do ângulo theta as tensões normais (sigman) são máximas e qual o valor dessas tensèes? (2,5 pts)

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos uma questão de mecânica dos materiais que pergunta para qual valor do ângulo theta as tensões normais sigman são máximas e qual é esse valor máximo. Para resolver isso, vamos precisar usar a teoria de transformação de tensões e um pouco de cálculo para encontrar onde a tensão normal atinge seu pico.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula que expressa a tensão normal sigman em um plano inclinado a um ângulo theta. Essa fórmula é dada por:
sigman = sigmax + sigmay2 + sigmax - sigmay2 cos(2theta) + tauxy sin(2theta)
Aqui, sigmax e sigmay são as tensões normais nos eixos x e y, respectivamente, e tauxy é a tensão de cisalhamento atuando no plano.

Passo 3

Para encontrar o ângulo theta que faz com que sigman seja máxima, precisamos derivar sigman em relação a theta e igualar a derivada a zero. Vamos fazer isso passo a passo:
Primeiro, calculamos a derivada de sigman em relação a theta:
dsigmandtheta = -sigmax - sigmay2 cdot 2 sin(2theta) + tauxy cdot 2 cos(2theta)
Simplificando:
dsigmandtheta = -(sigmax - sigmay) sin(2theta) + 2tauxy cos(2theta)

Passo 4

Agora, igualamos a derivada a zero para encontrar o ponto máximo:
-(sigmax - sigmay) sin(2theta) + 2tauxy cos(2theta) = 0
Vamos resolver essa equação para theta. Primeiro, reescrevemos:
(sigmax - sigmay) sin(2theta) = 2tauxy cos(2theta)
Dividindo ambos os lados por cos(2theta):
tan(2theta) = 2tauxysigmax - sigmay

Passo 5

Para encontrar theta, tiramos o arco-tangente dos dois lados:
2theta = arctan(2tauxysigmax - sigmay)
Portanto, isolando theta:
theta = 12 arctan(2tauxysigmax - sigmay)

Passo 6

Agora que temos o valor de theta, vamos encontrar o valor máximo da tensão normal sigman. Substituímos theta na fórmula original:
sigmanmax = sigmax + sigmay2 + raiz(sigmax - sigmay2)^2 + tauxy^2

Resposta

O ângulo theta que maximiza as tensões normais sigman é:
theta = 12 arctan(2tauxysigmax - sigmay)
E o valor máximo dessas tensões é:
sigmanmax = sigmax + sigmay2 + raiz(sigmax - sigmay2)^2 + tauxy^2

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