(Valor : 0,6 cada item) -Derive as funções abaixo :
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede a derivada
.
Informações relevantes que vêm do enunciado:
- A função envolve a exponencial com uma função composta no expoente.
- O logaritmo natural
aparece — por isso devemos lembrar que a expressão só faz sentido para . Portanto o domínio considerado é . - Queremos a derivada em relação a
.
Passo 2
Vamos lembrar as regras de diferenciação que vamos usar (aquelas pequenas ferramentas que fazem o trabalho pesado):
- Derivada da exponencial composta: se
, então a regra da cadeia dá
Aqui
é a função do expoente e
é sua derivada.
- Regra do produto: se
, então
- Derivadas básicas:
Vou aplicar essas regras passo a passo ao nosso caso.
Passo 3
Defina a função do expoente
Aplicando a regra do produto para
:
Calculando cada termo:
Portanto
Fatorando
, que deixa a expressão mais limpa:
Passo 4
Agora aplicamos a regra da cadeia para
:
Substituindo
e
, obtemos
Passo 5
Uma observação útil (opcional, só para ganhar intuição): usando a identidade
(válida para
), a derivada pode ser escrita de formas equivalentes. Por exemplo:
Ambas as formas são corretas e equivalentes no domínio
.