(Valor : 0,6 cada item) -Derive as funções abaixo :
y=e^{x^{2} \cdot \ln x}

Passo 1

O enunciado dá a função
y=e^{x^{2}\cdot \ln x}
e pede a derivada y'=\dfrac{dy}{dx}.
Informações relevantes que vêm do enunciado:
  • A função envolve a exponencial com uma função composta no expoente.
  • O logaritmo natural \ln x aparece — por isso devemos lembrar que a expressão só faz sentido para x>0. Portanto o domínio considerado é x>0.
  • Queremos a derivada em relação a x.

Passo 2

Vamos lembrar as regras de diferenciação que vamos usar (aquelas pequenas ferramentas que fazem o trabalho pesado):
  1. Derivada da exponencial composta: se y=e^{u(x)}, então a regra da cadeia dá
y' = e^{u(x)}\cdot u'(x).
Aqui u(x) é a função do expoente e u'(x) é sua derivada.
  1. Regra do produto: se u(x)=a(x)\cdot b(x), então
u'(x)=a'(x)\,b(x)+a(x)\,b'(x).
  1. Derivadas básicas:
\frac{d}{dx}\big(x^2\big)=2x, \qquad \frac{d}{dx}\big(\ln x\big)=\frac{1}{x}\quad\text{(para \(x>0\)).}
Vou aplicar essas regras passo a passo ao nosso caso.

Passo 3

Defina a função do expoente
u(x)=x^{2}\ln x.
Aplicando a regra do produto para u(x)=x^2\cdot\ln x:
u'(x)=(x^2)'\cdot\ln x + x^2\cdot(\ln x)'.
Calculando cada termo:
(x^2)'=2x, \qquad (\ln x)'=\frac{1}{x}.
Portanto
u'(x)=2x\cdot\ln x + x^2\cdot\frac{1}{x}=2x\ln x + x.
Fatorando x, que deixa a expressão mais limpa:
u'(x)=x\,(2\ln x + 1).

Passo 4

Agora aplicamos a regra da cadeia para y=e^{u(x)}:
y'=e^{u(x)}\cdot u'(x).
Substituindo u(x)=x^2\ln x e u'(x)=x(2\ln x+1), obtemos
y'=e^{x^{2}\ln x}\cdot x\,(2\ln x+1).

Passo 5

Uma observação útil (opcional, só para ganhar intuição): usando a identidade e^{x^{2}\ln x}=(e^{\ln x})^{x^{2}}=x^{x^{2}} (válida para x>0), a derivada pode ser escrita de formas equivalentes. Por exemplo:
y'=x^{x^{2}}\cdot x\,(2\ln x+1)=x^{x^{2}+1}\,(2\ln x+1).
Ambas as formas são corretas e equivalentes no domínio x>0.

Resposta

y'=e^{x^{2}\ln x}\,x\,(2\ln x+1)=x^{x^{2}+1}\,(2\ln x+1)

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