(Valor : 0,6 cada item) -Derive as funções abaixo :
y=\operatorname{cossec} 12 x-\operatorname{sen} 4 x

Passo 1

O enunciado dá a função
y=\csc(12x)-\sin(4x)
e pede para derivá‑la em relação a x. Informações relevantes que o enunciado fornece:
  • a função é a diferença de duas funções trigonométricas;
  • os argumentos das funções trigonométricas são 12x e 4x, ou seja, há uma composição (função dentro de função) em cada termo.

Passo 2

Conceitos e fórmulas que vamos usar (com explicação didática):
  • Regra da cadeia: se uma função é composição F(x)=f(g(x)), então
F'(x)=f'(g(x))\cdot g'(x).
Isto significa: derivar a função externa avaliando-a na função interna e multiplicar pela derivada da função interna.
  • Derivada da função seno: para u=u(x),
\frac{d}{dx}\big(\sin(u)\big)=\cos(u)\cdot u'.
Exemplo simples: \dfrac{d}{dx}\sin(3x)=\cos(3x)\cdot 3=3\cos(3x).
  • Derivada da função cossecante: usar \csc u = \dfrac{1}{\sin u}. Derivando,
\frac{d}{dx}\big(\csc(u)\big) = \frac{d}{dx}\left(\frac{1}{\sin u}\right).
Aplicando a regra do quociente (ou regra da cadeia + potência) obtemos
\frac{d}{dx}\big(\csc(u)\big) = -\frac{\cos(u)}{\sin^2(u)}\cdot u' = -\csc(u)\cot(u)\cdot u'.
Então, em palavras: a derivada de \csc(u) é -\csc(u)\cot(u) multiplicada pela derivada de u.

Passo 3

Identificar as funções internas e suas derivadas:
  • Para o primeiro termo \csc(12x), a função interna é u_1(x)=12x. Então
u_1'(x)=12.
  • Para o segundo termo \sin(4x), a função interna é u_2(x)=4x. Então
u_2'(x)=4.

Passo 4

Derivar o primeiro termo \csc(12x) usando a fórmula da derivada da cossecante e a regra da cadeia:
\frac{d}{dx}\big(\csc(12x)\big) = -\csc(12x)\cot(12x)\cdot \frac{d}{dx}(12x).
Substituindo \frac{d}{dx}(12x)=12 obtemos
\frac{d}{dx}\big(\csc(12x)\big) = -12\,\csc(12x)\cot(12x).

Passo 5

Derivar o segundo termo -\sin(4x). Primeiro derivamos \sin(4x) e lembramos do sinal negativo:
\frac{d}{dx}\big(\sin(4x)\big)=\cos(4x)\cdot \frac{d}{dx}(4x)=4\cos(4x).
Como há um sinal negativo na frente, temos
\frac{d}{dx}\big(-\sin(4x)\big) = -4\cos(4x).

Passo 6

Somar as derivadas dos dois termos para obter a derivada total y':
y' = -12\,\csc(12x)\cot(12x) - 4\cos(4x).

Resposta

-12\csc(12x)\cot(12x)-4\cos(4x)

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