(Valor : 0,6 cada item) -Derive as funções abaixo :
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para derivá‑la em relação a
. Informações relevantes que o enunciado fornece:
- a função é a diferença de duas funções trigonométricas;
- os argumentos das funções trigonométricas são
e , ou seja, há uma composição (função dentro de função) em cada termo.
Passo 2
Conceitos e fórmulas que vamos usar (com explicação didática):
- Regra da cadeia: se uma função é composição
, então
Isto significa: derivar a função externa avaliando-a na função interna e multiplicar pela derivada da função interna.
- Derivada da função seno: para
,
Exemplo simples:
.
- Derivada da função cossecante: usar
. Derivando,
Aplicando a regra do quociente (ou regra da cadeia + potência) obtemos
Então, em palavras: a derivada de
é
multiplicada pela derivada de
.
Passo 3
Identificar as funções internas e suas derivadas:
- Para o primeiro termo
, a função interna é . Então
- Para o segundo termo
, a função interna é . Então
Passo 4
Derivar o primeiro termo
usando a fórmula da derivada da cossecante e a regra da cadeia:
Substituindo
obtemos
Passo 5
Derivar o segundo termo
. Primeiro derivamos
e lembramos do sinal negativo:
Como há um sinal negativo na frente, temos
Passo 6
Somar as derivadas dos dois termos para obter a derivada total
: