1-(Valor de cada item ; 0,7 pontos) Resolva as integrais abaixo.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral definida
Informações dadas:
- A função a integrar é
. - Os limites de integração são
(inferior) e (superior). - Queremos o valor numérico da integral definida entre esses limites.
Passo 2
Primeiro simplificamos a escrita usando que
. Então a integral vira
Também usamos a propriedade linear da integral (que diz que a integral da soma é a soma das integrais e constantes podem sair):
Isto nos permite tratar cada termo separadamente.
Passo 3
Agora precisamos de primitivas (antiderivadas). Vou relembrar a regra do poder (power rule) para antiderivadas, que é essencial aqui:
Seja
. Então
onde
é constante de integração. Na prática para integrais definidas usaremos essa fórmula e depois avaliaremos entre limites. Explicando as variáveis:
-
é a variável de integração; -
é o expoente da potência; - o resultado
é a função cuja derivada é .
Também usaremos que a integral de uma constante multiplicando a função é essa constante vezes a integral da função:
Passo 4
Aplique a regra do poder aos dois termos.
Para
:
- trate a constante
fora da integral: . - usando a regra do poder com
:
Portanto
Para
:
- aqui
, então
Dividir por
é multiplicar por
, logo
Passo 5
Juntando as primitivas e lembrando do sinal menos da expressão original, uma primitiva
para o integrando completo é
Para integral definida usamos o Teorema Fundamental do Cálculo: o valor da integral de
até
é
.
Passo 6
Vamos avaliar
em
e em
.
Calcule
:
-
. -
significa . - Então
.
Portanto
Para somar em forma de fração:
, então
Calcule
:
-
. -
. -
.
Portanto
Passo 7
Agora a integral definida é
Se quiser uma checagem rápida em decimal,
, o que faz sentido dado que
domina e é positivo no intervalo.