1-(Valor de cada item ; 0,7 pontos) Resolva as integrais abaixo.
\int_{1}^{4}\left(3 x^{2}-\sqrt{x}\right) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{1}^{4}\left(3x^{2}-\sqrt{x}\right)\,dx.
Informações dadas:
  • A função a integrar é \;3x^{2}-\sqrt{x}\;.
  • Os limites de integração são x=1 (inferior) e x=4 (superior).
  • Queremos o valor numérico da integral definida entre esses limites.

Passo 2

Primeiro simplificamos a escrita usando que \sqrt{x}=x^{1/2}. Então a integral vira
\int_{1}^{4}\left(3x^{2}-x^{1/2}\right)\,dx.
Também usamos a propriedade linear da integral (que diz que a integral da soma é a soma das integrais e constantes podem sair):
\int_{1}^{4}\left(3x^{2}-x^{1/2}\right)\,dx = \int_{1}^{4}3x^{2}\,dx-\int_{1}^{4}x^{1/2}\,dx.
Isto nos permite tratar cada termo separadamente.

Passo 3

Agora precisamos de primitivas (antiderivadas). Vou relembrar a regra do poder (power rule) para antiderivadas, que é essencial aqui:
Seja \;n\neq -1\;. Então
\int x^{n}\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C,
onde C é constante de integração. Na prática para integrais definidas usaremos essa fórmula e depois avaliaremos entre limites. Explicando as variáveis:
  • x é a variável de integração;
  • n é o expoente da potência;
  • o resultado \frac{x^{n+1}}{n+1} é a função cuja derivada é x^{n}.
Também usaremos que a integral de uma constante multiplicando a função é essa constante vezes a integral da função:
\int a\cdot f(x)\,dx = a\int f(x)\,dx.

Passo 4

Aplique a regra do poder aos dois termos.
Para \int 3x^{2}\,dx:
  • trate a constante 3 fora da integral: 3\int x^{2}\,dx.
  • usando a regra do poder com n=2:
\int x^{2}\,dx=\frac{x^{3}}{3}.
Portanto
\int 3x^{2}\,dx=3\cdot\frac{x^{3}}{3}=x^{3}.
Para \int x^{1/2}\,dx:
  • aqui n=\tfrac{1}{2}, então
\int x^{1/2}\,dx=\frac{x^{1/2+1}}{1/2+1}=\frac{x^{3/2}}{3/2}.
Dividir por 3/2 é multiplicar por 2/3, logo
\int x^{1/2}\,dx=\frac{2}{3}x^{3/2}.

Passo 5

Juntando as primitivas e lembrando do sinal menos da expressão original, uma primitiva F(x) para o integrando completo é
F(x)=x^{3}-\frac{2}{3}x^{3/2}.
Para integral definida usamos o Teorema Fundamental do Cálculo: o valor da integral de a até b é F(b)-F(a).

Passo 6

Vamos avaliar F(x) em x=4 e em x=1.
Calcule F(4):
  • 4^{3}=64.
  • 4^{3/2} significa (\sqrt{4})^{3}=2^{3}=8.
  • Então \frac{2}{3}\cdot 4^{3/2}=\frac{2}{3}\cdot 8=\frac{16}{3}.
    Portanto
F(4)=64-\frac{16}{3}.
Para somar em forma de fração: 64=\frac{192}{3}, então
F(4)=\frac{192}{3}-\frac{16}{3}=\frac{176}{3}.
Calcule F(1):
  • 1^{3}=1.
  • 1^{3/2}=1.
  • \frac{2}{3}\cdot 1=\frac{2}{3}.
    Portanto
F(1)=1-\frac{2}{3}=\frac{1}{3}.

Passo 7

Agora a integral definida é
\int_{1}^{4}\left(3x^{2}-\sqrt{x}\right)\,dx=F(4)-F(1)=\frac{176}{3}-\frac{1}{3}=\frac{175}{3}.
Se quiser uma checagem rápida em decimal, \frac{175}{3}\approx 58,333, o que faz sentido dado que 3x^{2} domina e é positivo no intervalo.

Resposta

\displaystyle \frac{175}{3}

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