2-(Valor de cada item; 0,7 pontos) Resolva as integrais abaixo, utilizando o método da Integração por Substituição ou Integração Por Partes
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral definida
Informações dadas: o integrando é
, o intervalo de integração é de
até
, onde
é um parâmetro (tratamos
como um número real qualquer). A tarefa é encontrar o valor numérico (em função de
) dessa integral.
Passo 2
Vamos usar a fórmula da integração por partes. Primeiro, qual é essa fórmula e por que ela funciona? A fórmula é
onde
e
são funções de
,
é a diferencial de
e
é uma primitiva de
. A ideia é escolher
de forma que sua derivada
simplifique e escolher
de forma que consigamos calcular uma primitiva
. Para o nosso integrando
uma escolha natural é
porque a derivada de
é simples (
) e
tem primitiva conhecida (vamos calcular em detalhe no próximo passo).
Passo 3
Calculamos
e uma primitiva
de
.
Derivada de :
Derivada de
Agora achamos
. Para isso fazemos uma substituição simples: seja
, então
e
. Assim
Portanto podemos tomar
Passo 4
Aplicando a fórmula da integração por partes com
,
e
, obtemos a primitiva (indefinida)
Simplificando:
Passo 5
Calculemos
. Podemos fazer a mesma substituição
ou lembrar que a primitiva de
é
. Assim
Substituindo na expressão do passo anterior:
Esta é a primitiva geral de
.
Passo 6
Agora aplicamos os limites da integral definida de
a
. Pela primitiva encontrada, temos
Calculamos os valores em
e
:
em :
em
em
: como
e
,
Subtraindo, o valor da integral é simplesmente o valor em
.