2-(Valor de cada item; 0,7 pontos) Resolva as integrais abaixo, utilizando o método da Integração por Substituição ou Integração Por Partes
\int_{0}^{n} x \cdot \operatorname{sen} 2 x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{0}^{n} x\cdot \sin 2x \, dx.
Informações dadas: o integrando é x\sin 2x, o intervalo de integração é de x=0 até x=n, onde n é um parâmetro (tratamos n como um número real qualquer). A tarefa é encontrar o valor numérico (em função de n) dessa integral.

Passo 2

Vamos usar a fórmula da integração por partes. Primeiro, qual é essa fórmula e por que ela funciona? A fórmula é
\int u\, dv = u v - \int v\, du,
onde u e v são funções de x, du é a diferencial de u e v é uma primitiva de dv. A ideia é escolher u de forma que sua derivada du simplifique e escolher dv de forma que consigamos calcular uma primitiva v. Para o nosso integrando x\sin 2x uma escolha natural é
u = x,\qquad dv = \sin 2x\, dx,
porque a derivada de u é simples ( du = dx) e dv=\sin 2x\,dx tem primitiva conhecida (vamos calcular em detalhe no próximo passo).

Passo 3

Calculamos du e uma primitiva v de dv.
Derivada de u:
du = dx.
Agora achamos v=\int \sin 2x\,dx. Para isso fazemos uma substituição simples: seja t=2x, então dt = 2\,dx e dx = \tfrac{1}{2}\,dt. Assim
\int \sin 2x\,dx = \int \sin t \cdot \frac{1}{2}\,dt = \frac{1}{2}\int \sin t\,dt = \frac{1}{2}(-\cos t) + C = -\frac{1}{2}\cos 2x + C.
Portanto podemos tomar
v = -\frac{1}{2}\cos 2x.

Passo 4

Aplicando a fórmula da integração por partes com u=x, v=-\tfrac{1}{2}\cos 2x e du=dx, obtemos a primitiva (indefinida)
\int x\sin 2x\,dx = u v - \int v\,du = x\left(-\frac{1}{2}\cos 2x\right) - \int \left(-\frac{1}{2}\cos 2x\right) dx.
Simplificando:
\int x\sin 2x\,dx = -\frac{x}{2}\cos 2x + \frac{1}{2}\int \cos 2x\,dx.

Passo 5

Calculemos \int \cos 2x\,dx. Podemos fazer a mesma substituição t=2x ou lembrar que a primitiva de \cos(kx) é \frac{1}{k}\sin(kx). Assim
\int \cos 2x\,dx = \frac{1}{2}\sin 2x + C.
Substituindo na expressão do passo anterior:
\int x\sin 2x\,dx = -\frac{x}{2}\cos 2x + \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}\sin 2x + C = -\frac{x}{2}\cos 2x + \frac{1}{4}\sin 2x + C.
Esta é a primitiva geral de x\sin 2x.

Passo 6

Agora aplicamos os limites da integral definida de 0 a n. Pela primitiva encontrada, temos
\int_{0}^{n} x\sin 2x\,dx = \left[-\frac{x}{2}\cos 2x + \frac{1}{4}\sin 2x\right]_{0}^{n}.
Calculamos os valores em x=n e x=0:
em x=n:
-\frac{n}{2}\cos 2n + \frac{1}{4}\sin 2n,
em x=0: como \cos 0 = 1 e \sin 0 = 0,
-\frac{0}{2}\cos 0 + \frac{1}{4}\sin 0 = 0.
Subtraindo, o valor da integral é simplesmente o valor em x=n.

Resposta

-\frac{n}{2}\cos 2n + \frac{1}{4}\sin 2n

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