1-(Valor de cada item ; 0,7 pontos) Resolva as integrais abaixo.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a primitiva (antiderivada) da função dada, ou seja encontrar
Informações relevantes dadas: o integrando é a soma de duas funções
e
. A tarefa é achar uma função
tal que
. Não há restrições adicionais no enunciado.
Passo 2
Usamos a linearidade da integral: a integral da soma é a soma das integrais. Em símbolos,
Essa propriedade decorre da linearidade da derivada e é sempre válida para funções usuais. Agora resolvemos cada integral separadamente.
Passo 3
Calculemos
. Uma maneira simples é usar a substituição linear ou lembrar a fórmula geral
para
. Aqui
. Para mostrar rapidamente com substituição, deixe
Substituindo na integral:
Explicação intuitiva: a derivada de
é
, então para compensar esse
ao integrar devemos multiplicar por
.
Passo 4
Calculemos
. Aqui usamos que a derivada da função arco-tangente é
Portanto, uma primitiva de
é
. Assim
(Dica prática para prova: decorar que
.)
Passo 5
Somando as duas primitivas (e recolhendo a constante de integração numa única constante
) obtemos a primitiva da soma:
Verificação rápida (útil na prova): derive a resposta. A derivada de
é
e a derivada de
é
. Somando dá o integrando original, logo está correto.