1-(Valor de cada item ; 0,7 pontos) Resolva as integrais abaixo.
\int\left(e^{2 x}+\frac{1}{1+x^{2}}\right) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a primitiva (antiderivada) da função dada, ou seja encontrar
\int\left(e^{2 x}+\frac{1}{1+x^{2}}\right) d x.
Informações relevantes dadas: o integrando é a soma de duas funções \;e^{2x}\; e \;\dfrac{1}{1+x^{2}}\;. A tarefa é achar uma função F(x) tal que F'(x)=e^{2x}+\dfrac{1}{1+x^{2}}. Não há restrições adicionais no enunciado.

Passo 2

Usamos a linearidade da integral: a integral da soma é a soma das integrais. Em símbolos,
\int\left(e^{2 x}+\frac{1}{1+x^{2}}\right) d x = \int e^{2x}\,dx + \int \frac{1}{1+x^{2}}\,dx.
Essa propriedade decorre da linearidade da derivada e é sempre válida para funções usuais. Agora resolvemos cada integral separadamente.

Passo 3

Calculemos \displaystyle \int e^{2x}\,dx. Uma maneira simples é usar a substituição linear ou lembrar a fórmula geral \displaystyle \int e^{a x}\,dx=\frac{1}{a}e^{a x}+C para a\neq 0. Aqui a=2. Para mostrar rapidamente com substituição, deixe
u=2x \quad\Rightarrow\quad du=2\,dx \quad\Rightarrow\quad dx=\frac{du}{2}.
Substituindo na integral:
\int e^{2x}\,dx = \int e^{u}\cdot\frac{du}{2} = \frac{1}{2}\int e^{u}\,du = \frac{1}{2}e^{u}+C = \frac{1}{2}e^{2x}+C.
Explicação intuitiva: a derivada de e^{2x} é 2e^{2x}, então para compensar esse 2 ao integrar devemos multiplicar por \tfrac{1}{2}.

Passo 4

Calculemos \displaystyle \int \frac{1}{1+x^{2}}\,dx. Aqui usamos que a derivada da função arco-tangente é
\frac{d}{dx}\big(\arctan x\big)=\frac{1}{1+x^{2}}.
Portanto, uma primitiva de \dfrac{1}{1+x^{2}} é \arctan x. Assim
\int \frac{1}{1+x^{2}}\,dx = \arctan x + C.
(Dica prática para prova: decorar que \dfrac{d}{dx}\arctan x=\dfrac{1}{1+x^{2}}.)

Passo 5

Somando as duas primitivas (e recolhendo a constante de integração numa única constante C) obtemos a primitiva da soma:
\int\left(e^{2 x}+\frac{1}{1+x^{2}}\right) d x = \frac{1}{2}e^{2x}+\arctan x + C.
Verificação rápida (útil na prova): derive a resposta. A derivada de \tfrac{1}{2}e^{2x} é e^{2x} e a derivada de \arctan x é \dfrac{1}{1+x^{2}}. Somando dá o integrando original, logo está correto.

Resposta

\dfrac{1}{2}e^{2x}+\arctan x + C

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