- (Valor: 2.5) Um condutor cilindrico de raio
com eixo ao longo do eixo
, carrega uma densidade de corrente volumétrica uniforme
. Use a lei de Ampere
, para
(a) Mostre que o campo magnético no interior do cilindro (
) é dado por
.
(b) Encontre também o vetor campo magnético
em pontos do exterior ao cilindro,
.
(a) Mostre que o campo magnético no interior do cilindro (
(b) Encontre também o vetor campo magnético
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
- (a) Determinar o campo magnético no interior do cilindro, para
. - (b) Determinar o campo magnético no exterior do cilindro, para
.
Informações dadas:
- Cilindro longo coaxial com o eixo
. - Raio do cilindro:
. - Densidade de corrente volumétrica uniforme:
(unidade: A/m ). - Deve-se usar a lei de Ampère:
.
Passo 2
Observação de simetria e escolha do caminho amperiano:
- Pelo problema a distribuição de corrente é uniforme ao longo da seção transversal e o cilindro é longo; portanto o campo magnético só pode depender de
(distância radial ao eixo) e ser tangencial à circunferência (direção azimutal). Em notação vetorial isso significa . - Escolhemos como curva amperiana uma circunferência de raio
, centrada no eixo . Nessa curva é tangente e de módulo constante, o que facilita a aplicação da lei de Ampère.
Passo 3
Escrever a lei de Ampère para a circunferência de raio
:
A direita da lei de Ampère é
, onde
é a corrente total atravessando a área da circunferência de raio
.
Passo 4
Cálculo da corrente envolvida para
(interior):
- A densidade de corrente
é corrente por unidade de área (A/m ). - A área da seção transversal dentro do raio
é . - Logo a corrente envolvida é
Passo 5
Substituir na lei de Ampère e resolver para
(interior):
Isolando
:
Portanto o campo vetorial no interior é
Direção (sentido) de
: usando a regra da mão direita, se
(corrente para cima), o campo circula no sentido dado por
(os dedos da mão direita enrolam em torno do eixo apontando o campo).
Passo 6
Cálculo para
(exterior): corrente envolvida é a corrente total do cilindro.
- Corrente total do fio (corrente atravessando a seção
) é
Aplicando Ampère para
:
Isolando
:
Usando
também podemos escrever
O campo vetorial no exterior é então
Passo 7
Verificação rápida de continuidade em
:
- Para
: . - Para
: .
Assim as duas expressões coincidem em, bom cheque de consistência.