1. (Valor: 2.5) Um condutor cilindrico de raio a_{y} com eixo ao longo do eixo z, carrega uma densidade de corrente volumétrica uniforme \bar{J}=J \hat{z}. Use a lei de Ampere \oint_{\mathrm{c}} \vec{B} \cdot d \vec{l}=\mu_{0} \vec{J}, para
    (a) Mostre que o campo magnético no interior do cilindro ( 0 \leq r \leq a ) é dado por \vec{B}(\vec{r})=\frac{1}{2} \mu_{0} J r \varphi.
    (b) Encontre também o vetor campo magnético \bar{B} em pontos do exterior ao cilindro, r \geq a.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • (a) Determinar o campo magnético no interior do cilindro, para 0 \le r \le a.
  • (b) Determinar o campo magnético no exterior do cilindro, para r \ge a.
Informações dadas:
  • Cilindro longo coaxial com o eixo z.
  • Raio do cilindro: a.
  • Densidade de corrente volumétrica uniforme: \bar{J}=J\,\hat{z} (unidade: A/m ^2).
  • Deve-se usar a lei de Ampère: \displaystyle \oint_{c}\vec{B}\cdot d\vec{l}=\mu_{0} I_{\text{enc}}.

Passo 2

Observação de simetria e escolha do caminho amperiano:
  • Pelo problema a distribuição de corrente é uniforme ao longo da seção transversal e o cilindro é longo; portanto o campo magnético só pode depender de r (distância radial ao eixo) e ser tangencial à circunferência (direção azimutal). Em notação vetorial isso significa \vec{B}(r)=B(r)\,\hat{\varphi}.
  • Escolhemos como curva amperiana uma circunferência de raio r, centrada no eixo z. Nessa curva \vec{B} é tangente e de módulo constante, o que facilita a aplicação da lei de Ampère.

Passo 3

Escrever a lei de Ampère para a circunferência de raio r:
\oint_{c}\vec{B}\cdot d\vec{l}=B(r)\, (2\pi r).
A direita da lei de Ampère é \mu_{0} I_{\text{enc}}, onde I_{\text{enc}} é a corrente total atravessando a área da circunferência de raio r.

Passo 4

Cálculo da corrente envolvida para 0\le r\le a (interior):
  • A densidade de corrente J é corrente por unidade de área (A/m ^2).
  • A área da seção transversal dentro do raio r é \pi r^{2}.
  • Logo a corrente envolvida é
I_{\text{enc}}(r)=J\cdot (\text{área}) = J\,\pi r^{2}.á

Passo 5

Substituir na lei de Ampère e resolver para B(r) (interior):
B(r)\,(2\pi r)=\mu_{0}\,I_{\text{enc}}(r)=\mu_{0}\,J\,\pi r^{2}.
Isolando B(r):
B(r)=\frac{\mu_{0} J \pi r^{2}}{2\pi r}=\frac{1}{2}\mu_{0} J\, r.
Portanto o campo vetorial no interior é
\vec{B}(r)=\frac{1}{2}\mu_{0} J\, r\,\hat{\varphi},\qquad 0\le r\le a.
Direção (sentido) de \hat{\varphi}: usando a regra da mão direita, se \bar{J}=J\,\hat{z} (corrente para cima), o campo circula no sentido dado por \hat{\varphi} (os dedos da mão direita enrolam em torno do eixo apontando o campo).

Passo 6

Cálculo para r\ge a (exterior): corrente envolvida é a corrente total do cilindro.
  • Corrente total do fio (corrente atravessando a seção r=a) é
I_{\text{tot}}=J\cdot (\text{área total})=J\,\pi a^{2}.á
Aplicando Ampère para r\ge a:
B(r)\,(2\pi r)=\mu_{0}\,I_{\text{tot}}=\mu_{0}\,J\,\pi a^{2}.
Isolando B(r):
B(r)=\frac{\mu_{0} J \pi a^{2}}{2\pi r}=\frac{\mu_{0} J a^{2}}{2r}.
Usando I_{\text{tot}}=J\pi a^{2} também podemos escrever
B(r)=\frac{\mu_{0} I_{\text{tot}}}{2\pi r}.
O campo vetorial no exterior é então
\vec{B}(r)=\frac{\mu_{0} J a^{2}}{2r}\,\hat{\varphi}=\frac{\mu_{0} I_{\text{tot}}}{2\pi r}\,\hat{\varphi},\qquad r\ge a.

Passo 7

Verificação rápida de continuidade em r=a:
  • Para r\to a^{-}: \vec{B}=\dfrac{1}{2}\mu_{0}J a\,\hat{\varphi}.
  • Para r\to a^{+}: \vec{B}=\dfrac{\mu_{0}J a^{2}}{2a}\,\hat{\varphi}=\dfrac{1}{2}\mu_{0}J a\,\hat{\varphi}.
    Assim as duas expressões coincidem em r=a, bom cheque de consistência.

Resposta

\displaystyle \vec{B}(r)=\frac{1}{2}\mu_{0}J\,r\,\hat{\varphi},\qquad 0\le r\le a.
\displaystyle \vec{B}(r)=\frac{\mu_{0}J a^{2}}{2r}\,\hat{\varphi} \;=\;\frac{\mu_{0}I}{2\pi r}\,\hat{\varphi},\qquad r\ge a, onde \displaystyle I=J\pi a^{2}.

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