6.91 ••• DADOS Em um experimento no laboratório de física, a extremidade de uma mola horizontal que obedece à lei de Hooke é presa a uma parede. A mola é comprimida por 0,400 \mathrm{~m} e o bloco, com massa de 0,300 \mathrm{~kg}, é preso a ela. A mola é então liberada, e o bloco se move ao longo de uma superfície horizontal. Sensores eletrônicos medem a velocidade v do bloco depois que ele tiver atravessado uma dis-
\boldsymbol{d}(\mathbf{m}) \boldsymbol{v}(\mathbf{m} / \mathbf{s})
0 0
0,05 0,85
0,10 1,11
0,15 1,24
0,25 1,26
0,30 1,14
0,35 0,90
0,40 0,36

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que se pede (peguei estes números da tabela do enunciado).
Dados fornecidos:
  • A mola foi comprimida inicialmente por \,0,400\\ \text{m} (vou chamar esse valor de a, isto é a=0,400\\ \text{m}).
  • Massa do bloco: m=0,300\\ \text{kg}.
  • A tabela mede a velocidade v do bloco depois que ele se deslocou uma distância d desde a posição inicial comprimida. Os pares (d,v) são (peguei todos da tabela):
    • d=0, v=0
    • d=0,05\\ \text{m}, v=0,85\\ \text{m/s}
    • d=0,10\\ \text{m}, v=1,11\\ \text{m/s}
    • d=0,15\\ \text{m}, v=1,24\\ \text{m/s}
    • d=0,25\\ \text{m}, v=1,26\\ \text{m/s}
    • d=0,30\\ \text{m}, v=1,14\\ \text{m/s}
    • d=0,35\\ \text{m}, v=0,90\\ \text{m/s}
    • d=0,40\\ \text{m}, v=0,36\\ \text{m/s}
O que o enunciado (implicitamente) pede (hipótese natural para esse tipo de experimento): determinar as características da mola e da superfície a partir dos dados — em particular:
  • a constante elástica da mola k (unidade \text{N/m});
  • a força de atrito cinético f_k ou o coeficiente de atrito cinético \mu_k entre bloco e superfície (vou apresentar \mu_k).

Passo 2

Entender fisicamente o que acontece e escrever a equação de energia (a peça central da resolução).
Explicação física passo a passo:
  • A mola inicialmente guarda energia potencial elástica igual a \tfrac{1}{2}k a^2, onde k é a constante da mola e a é a compressão inicial. Aqui a=0,400\\ \text{m}.
  • Quando o bloco se desloca uma distância d para fora da compressão inicial (isto é, desde a posição originária comprimida até a nova posição), parte da energia da mola foi transformada em energia cinética do bloco e parte foi dissipada realizando trabalho contra a força de atrito cinético f_k.
  • A energia potencial remanescente na mola quando ela está ainda comprimida por (a-d) é \tfrac{1}{2}k (a-d)^2, desde que d\le a. A diferença entre a energia inicial e essa energia remanescente é o trabalho total que a mola fez sobre o bloco até a posição d.
Agora a fórmula pela conservação de energia (energia da mola convertida em cinética + trabalho de atrito):
\tfrac{1}{2}k a^2 - \tfrac{1}{2}k (a-d)^2 = \tfrac{1}{2} m v^2 + f_k d.
Vou explicar cada termo:
  • \tfrac{1}{2}k a^2: energia potencial elástica inicial.
  • \tfrac{1}{2}k (a-d)^2: energia potencial na mola na posição depois do deslocamento d.
  • \tfrac{1}{2} m v^2: energia cinética do bloco na posição d.
  • f_k d: trabalho realizado contra a força de atrito constante f_k ao longo da distância d.

Passo 3

Manipular a equação de energia para obter uma forma linear em k e f_k (isso facilita usar dados experimentais).
Calculando a diferença das energias da mola:
\tfrac{1}{2}k a^2 - \tfrac{1}{2}k (a-d)^2 = \tfrac{1}{2}k\bigl(a^2 - (a-d)^2\bigr) = \tfrac{1}{2}k\bigl(2ad - d^2\bigr) = k a d - \tfrac{1}{2}k d^2.
Portanto a equação de energia fica
\tfrac{1}{2} m v^2 = k a d - \tfrac{1}{2}k d^2 - f_k d.
Reescrevendo de forma que apareça k e f_k linearmente:
\tfrac{1}{2} m v^2 = k\Bigl(a d - \tfrac{1}{2}d^2\Bigr) - f_k d.
Observação didática: nesta forma cada medida (d,v) dá uma equação linear nas incógnitas k e f_k. Assim, com duas medições (duas equações independentes) pode-se resolver para k e f_k. Se houvessem muitos dados se faria ajuste por mínimos quadrados; aqui vou resolver usando duas medições representativas e depois verificar consistência com outras medições.

Passo 4

Escolher duas medições da tabela e escrever as duas equações lineares correspondentes. Vou usar as medições em d=0,05\\ \text{m} e d=0,40\\ \text{m} (escolha motivada por boa separação dos pontos e sinais claros nos dados). Peguei estes valores da tabela do enunciado.
Defino constantes numéricas e calculo os termos conhecidos:
  • m=0,300\\ \text{kg}.
  • a=0,400\\ \text{m}.
  • Usarei g=9,80\\ \text{m/s}^2 mais adiante para obter \mu_k.
Para d_1=0,05\\ \text{m}, v_1=0,85\\ \text{m/s}:
\tfrac{1}{2} m v_1^2 = \tfrac{1}{2}\cdot 0,300\cdot (0,85)^2.
Calcule passo a passo:
(0,85)^2 = 0,7225, \qquad \tfrac{1}{2}m = 0,15,
\tfrac{1}{2} m v_1^2 = 0,15\cdot 0,7225 = 0,108375\\ \text{J}.
O coeficiente multiplicando k é
a d_1 - \tfrac{1}{2} d_1^2 = 0,400\cdot 0,05 - \tfrac{1}{2}(0,05)^2 = 0,020 - 0,00125 = 0,01875.
Então a equação para o ponto 1 é
0,108375 = k\cdot 0,01875 - f_k\cdot 0,05. \tag{1}
Agora para d_2=0,40\\ \text{m}, v_2=0,36\\ \text{m/s}:
\tfrac{1}{2} m v_2^2 = 0,15\cdot (0,36)^2 = 0,15\cdot 0,1296 = 0,01944\\ \text{J}.
O coeficiente multiplicando k é
a d_2 - \tfrac{1}{2} d_2^2 = 0,400\cdot 0,40 - \tfrac{1}{2}(0,40)^2 = 0,160 - 0,080 = 0,080.
A equação para o ponto 2 é
0,01944 = k\cdot 0,080 - f_k\cdot 0,40. \tag{2}

Passo 5

Resolver o sistema linear formado pelas equações [(1)) e (2) para encontrar k e f_k.
Escrevendo as duas equações:
\begin{cases} 0,108375 = 0,01875\,k - 0,05\,f_k,\\[4pt] 0,01944 = 0,08000\,k - 0,40\,f_k. \end{cases}
Vou eliminar f_k\]. Da primeira equação isolamos \(f_k:
-0,05\,f_k = 0,108375 - 0,01875\,k \quad\Rightarrow\quad f_k = \dfrac{0,01875\,k - 0,108375}{0,05}.
Calcule o coeficiente numérico:
\dfrac{0,01875}{0,05}=0,375,\qquad \dfrac{0,108375}{0,05}=2,1675,
portanto
f_k = 0,375\,k - 2,1675. \tag{3}
Agora substituo (3) na equação (2):
0,01944 = 0,080\,k - 0,40\bigl(0,375\,k - 2,1675\bigr).
Desenvolvendo:
0,01944 = 0,080\,k - 0,40\cdot 0,375\,k + 0,40\cdot 2,1675.
Calcule os termos:
0,40\cdot 0,375 = 0,15,\qquad 0,40\cdot 2,1675 = 0,867.
Logo
0,01944 = 0,080\,k - 0,15\,k + 0,867 = -0,070\,k + 0,867.
Isolando k:
-0,070\,k = 0,01944 - 0,867 = -0,84756,
k = \dfrac{-0,84756}{-0,070} = \dfrac{0,84756}{0,070} = 12,108\ldots
Arredondando sensatamente (duas casas significativas razoáveis para este experimento):
k \approx 12,1\\ \text{N/m}.]

Passo 6

Determinar f_k usando k obtido e a fórmula (3).
Usando k=12,108:
f_k = 0,375\cdot 12,108 - 2,1675 = 4,5405 - 2,1675 = 2,3730\\ \text{N}.
Arredondando:
f_k \approx 2,37\\ \text{N}.

Passo 7

Calcular o coeficiente de atrito cinético \mu_k. Relação entre força de atrito e coeficiente (superfície horizontal):
f_k = \mu_k N,
onde N é a força normal. Em superfície horizontal sem forças verticais extras, N = m g. Portanto
\mu_k = \dfrac{f_k}{m g}.
Substituindo f_k=2,3730\\ \text{N}, m=0,300\\ \text{kg}, g=9,80\\ \text{m/s}^2:
\mu_k = \dfrac{2,3730}{0,300\cdot 9,80} = \dfrac{2,3730}{2,94} = 0,80714\ldots
Arredondando:
\mu_k \approx 0,81.

Passo 8

Verificação rápida de consistência com outro ponto da tabela (checar se os valores fazem sentido).
Usando d=0,25\\ \text{m} e v=1,26\\ \text{m/s} (valores da tabela):
  • Lado esquerdo: \tfrac{1}{2}m v^2 = 0,15\cdot (1,26)^2 = 0,15\cdot 1,5876 = 0,23814\\ \text{J}.
  • Lado direito com k=12,108 e f_k=2,373: k\Bigl(a d - \tfrac{1}{2}d^2\Bigr) - f_k d = 12,108\cdot 0,06875 - 2,373\cdot 0,25 = 0,8333 - 0,59325 = 0,24005\\ \text{J}.
A diferença é pequena ( \sim 0,002\\ \text{J}), o que mostra consistência razoável com os outros dados experimentais.

Resposta

k \approx 12{,}1\\ \text{N/m}\n
\mu_k \approx 0{,}81

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