6.91 ••• DADOS Em um experimento no laboratório de física, a extremidade de uma mola horizontal que obedece à lei de Hooke é presa a uma parede. A mola é comprimida por 0,400 \mathrm{~m} e o bloco, com massa de 0,300 \mathrm{~kg}, é preso a ela. A mola é então liberada, e o bloco se move ao longo de uma superfície horizontal. Sensores eletrônicos medem a velocidade v do bloco depois que ele tiver atravessado uma dis-
\boldsymbol{d}(\mathbf{m})
\boldsymbol{v}(\mathbf{m} / \mathbf{s})
0
0
0,05
0,85
0,10
1,11
0,15
1,24
0,25
1,26
0,30
1,14
0,35
0,90
0,40
0,36
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que se pede (peguei estes números da tabela do enunciado).
Dados fornecidos:
A mola foi comprimida inicialmente por \,0,400\\ \text{m} (vou chamar esse valor de a, isto é a=0,400\\ \text{m}).
Massa do bloco: m=0,300\\ \text{kg}.
A tabela mede a velocidade v do bloco depois que ele se deslocou uma distância d desde a posição inicial comprimida. Os pares (d,v) são (peguei todos da tabela):
d=0, v=0
d=0,05\\ \text{m}, v=0,85\\ \text{m/s}
d=0,10\\ \text{m}, v=1,11\\ \text{m/s}
d=0,15\\ \text{m}, v=1,24\\ \text{m/s}
d=0,25\\ \text{m}, v=1,26\\ \text{m/s}
d=0,30\\ \text{m}, v=1,14\\ \text{m/s}
d=0,35\\ \text{m}, v=0,90\\ \text{m/s}
d=0,40\\ \text{m}, v=0,36\\ \text{m/s}
O que o enunciado (implicitamente) pede (hipótese natural para esse tipo de experimento): determinar as características da mola e da superfície a partir dos dados — em particular:
a constante elástica da mola k (unidade \text{N/m});
a força de atrito cinético f_k ou o coeficiente de atrito cinético \mu_k entre bloco e superfície (vou apresentar \mu_k).
Passo 2
Entender fisicamente o que acontece e escrever a equação de energia (a peça central da resolução).
Explicação física passo a passo:
A mola inicialmente guarda energia potencial elástica igual a \tfrac{1}{2}k a^2, onde k é a constante da mola e a é a compressão inicial. Aqui a=0,400\\ \text{m}.
Quando o bloco se desloca uma distância d para fora da compressão inicial (isto é, desde a posição originária comprimida até a nova posição), parte da energia da mola foi transformada em energia cinética do bloco e parte foi dissipada realizando trabalho contra a força de atrito cinético f_k.
A energia potencial remanescente na mola quando ela está ainda comprimida por (a-d) é \tfrac{1}{2}k (a-d)^2, desde que d\le a. A diferença entre a energia inicial e essa energia remanescente é o trabalho total que a mola fez sobre o bloco até a posição d.
Agora a fórmula pela conservação de energia (energia da mola convertida em cinética + trabalho de atrito):
\tfrac{1}{2}k a^2 - \tfrac{1}{2}k (a-d)^2 = \tfrac{1}{2} m v^2 + f_k d.
Vou explicar cada termo:
\tfrac{1}{2}k a^2: energia potencial elástica inicial.
\tfrac{1}{2}k (a-d)^2: energia potencial na mola na posição depois do deslocamento d.
\tfrac{1}{2} m v^2: energia cinética do bloco na posição d.
f_k d: trabalho realizado contra a força de atrito constante f_k ao longo da distância d.
Passo 3
Manipular a equação de energia para obter uma forma linear em k e f_k (isso facilita usar dados experimentais).
Calculando a diferença das energias da mola:
\tfrac{1}{2}k a^2 - \tfrac{1}{2}k (a-d)^2 = \tfrac{1}{2}k\bigl(a^2 - (a-d)^2\bigr) = \tfrac{1}{2}k\bigl(2ad - d^2\bigr) = k a d - \tfrac{1}{2}k d^2.
Portanto a equação de energia fica
\tfrac{1}{2} m v^2 = k a d - \tfrac{1}{2}k d^2 - f_k d.
Reescrevendo de forma que apareça k e f_k linearmente:
\tfrac{1}{2} m v^2 = k\Bigl(a d - \tfrac{1}{2}d^2\Bigr) - f_k d.
Observação didática: nesta forma cada medida (d,v) dá uma equação linear nas incógnitas k e f_k. Assim, com duas medições (duas equações independentes) pode-se resolver para k e f_k. Se houvessem muitos dados se faria ajuste por mínimos quadrados; aqui vou resolver usando duas medições representativas e depois verificar consistência com outras medições.
Passo 4
Escolher duas medições da tabela e escrever as duas equações lineares correspondentes. Vou usar as medições em d=0,05\\ \text{m} e d=0,40\\ \text{m} (escolha motivada por boa separação dos pontos e sinais claros nos dados). Peguei estes valores da tabela do enunciado.
Defino constantes numéricas e calculo os termos conhecidos:
m=0,300\\ \text{kg}.
a=0,400\\ \text{m}.
Usarei g=9,80\\ \text{m/s}^2 mais adiante para obter \mu_k.
Para d_1=0,05\\ \text{m}, v_1=0,85\\ \text{m/s}:
\tfrac{1}{2} m v_1^2 = \tfrac{1}{2}\cdot 0,300\cdot (0,85)^2.
Calcule passo a passo:
(0,85)^2 = 0,7225, \qquad \tfrac{1}{2}m = 0,15,
\tfrac{1}{2} m v_1^2 = 0,15\cdot 0,7225 = 0,108375\\ \text{J}.
Lado direito com k=12,108 e f_k=2,373:k\Bigl(a d - \tfrac{1}{2}d^2\Bigr) - f_k d = 12,108\cdot 0,06875 - 2,373\cdot 0,25 = 0,8333 - 0,59325 = 0,24005\\ \text{J}.
A diferença é pequena (\sim 0,002\\ \text{J}), o que mostra consistência razoável com os outros dados experimentais.
Resposta
k \approx 12{,}1\\ \text{N/m}\n \mu_k \approx 0{,}81