6.88 • CALC Um objeto é submetido à ação de diversas forças. Uma dessas forças é dada por overrightarrow{\boldsymbol{F}}=\alpha x y \hat{\imath}, uma força ao longo do eixo x cujo módulo depende da posição do objeto, sendo \alpha=2,50 \mathrm{~N} / \mathrm{m}^{2}. Calcule o trabalho realizado por essa força para os seguintes deslocamentos do objeto:
O objeto está inicialmente na origem e se move sobre a linha y=1,5 x até o ponto ( x=2,00 \mathrm{~m}, y=3,00 \mathrm{~m} ).

Passo 1

O enunciado dá uma força que depende da posição e pede o trabalho realizado por essa força quando o objeto se desloca do ponto inicial até o ponto final ao longo de uma reta. Informações e pedidos claramente listados:
  • A força é \overrightarrow{F}=\alpha x y\,\hat{\imath}.
  • A constante é \alpha=2,50\\ \mathrm{N/m^{2}}.
  • O deslocamento começa na origem (0,0) e termina em (2{,}00\\ \mathrm{m},\\\ 3{,}00\\ \mathrm{m}).
  • A trajetória é a reta definida por y=1{,}5\,x (ou seja, y=\tfrac{3}{2}x).
  • Pedido: calcular o trabalho realizado por \overrightarrow{F} ao longo dessa trajetória.

Passo 2

Conceito que vamos usar (explicação didática): o trabalho realizado por uma força variável ao longo de uma trajetória é dado pelo integral de linha do produto escalar entre a força e o deslocamento infinitesimal:
W=\int_{C}\overrightarrow{F}\cdot d\overrightarrow{r}.
Aqui:
  • \overrightarrow{F}(x,y) é a força em cada ponto.
  • d\overrightarrow{r} é o vetor deslocamento infinitesimal ao longo da curva C.
  • O produto escalar \overrightarrow{F}\cdot d\overrightarrow{r} pega apenas as componentes que “contribuem” ao longo do deslocamento. Se \overrightarrow{F}=F_x\,\hat{\imath}+F_y\,\hat{\jmath} e d\overrightarrow{r}=dx\,\hat{\imath}+dy\,\hat{\jmath}, então \overrightarrow{F}\cdot d\overrightarrow{r}=F_x\,dx+F_y\,dy.

Passo 3

Parametrização da trajetória (maneira prática): como a curva é a reta y=1{,}5\,x indo de x=0 até x=2{,}00, podemos usar x como parâmetro. Então:
x=t,\qquad y=1{,}5\,t\qquad\text{com }t\in[0,2].
Em termos de dx e dy temos:
dx=dt,\qquad dy=1{,}5\,dt.
Também podemos manter x como variável de integração e escrever y=1{,}5\,x.

Passo 4

Escrever d\overrightarrow{r} e o produto escalar: como \overrightarrow{F}=\alpha x y\,\hat{\imath} (não há componente na direção \hat{\jmath}),
d\overrightarrow{r}=dx\,\hat{\imath}+dy\,\hat{\jmath},
portanto
\overrightarrow{F}\cdot d\overrightarrow{r}=(\alpha x y)\,dx + 0\cdot dy = \alpha x y\,dx.
Isso simplifica muito: só precisamos integrar \alpha x y em relação a x ao longo do intervalo de x de 0 a 2.

Passo 5

Substituir a relação da reta y=1{,}5\,x no integrando e montar o integral:
y=1{,}5\,x=\tfrac{3}{2}x,
logo
\overrightarrow{F}\cdot d\overrightarrow{r}=\alpha x\left(\tfrac{3}{2}x\right)dx=\alpha\cdot\tfrac{3}{2}\,x^{2}\,dx.
O trabalho é
W=\int_{x=0}^{x=2}\alpha\cdot\tfrac{3}{2}\,x^{2}\,dx.

Passo 6

Calcular o integral passo a passo (mostrando como fazer sem calculadora):
W=\alpha\cdot\tfrac{3}{2}\int_{0}^{2}x^{2}\,dx.
A primitiva de x^{2} é \tfrac{1}{3}x^{3}, então
\int_{0}^{2}x^{2}\,dx=\left[\tfrac{1}{3}x^{3}\right]_{0}^{2}=\tfrac{1}{3}\cdot 2^{3}=\tfrac{8}{3}.
Substituindo,
W=\alpha\cdot\tfrac{3}{2}\cdot\tfrac{8}{3}=\alpha\cdot\tfrac{1}{2}\cdot 8=4\alpha.
Verificação de unidades (importante na prova): \alpha tem unidade \mathrm{N/m^{2}} e x^{2} tem unidade \mathrm{m^{2}}, então 4\alpha tem unidade \mathrm{N\cdot m}=\mathrm{J}, como esperado.

Passo 7

Substituir o valor numérico de \alpha e obter o trabalho numérico final:
\alpha=2{,}50\\ \mathrm{N/m^{2}}\quad\Rightarrow\quad W=4\alpha=4\cdot 2{,}50\\ \mathrm{N\cdot m}.

Resposta

10{,}0\\ \mathrm{J}

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