6.88 • CALC Um objeto é submetido à ação de diversas forças. Uma dessas forças é dada por
, uma força ao longo do eixo
cujo módulo depende da posição do objeto, sendo
. Calcule o trabalho realizado por essa força para os seguintes deslocamentos do objeto:
O objeto está inicialmente na origem e se move sobre a linha
até o ponto (
).
O objeto está inicialmente na origem e se move sobre a linha
Passo 1
O enunciado dá uma força que depende da posição e pede o trabalho realizado por essa força quando o objeto se desloca do ponto inicial até o ponto final ao longo de uma reta. Informações e pedidos claramente listados:
- A força é
. - A constante é
. - O deslocamento começa na origem
e termina em . - A trajetória é a reta definida por
(ou seja, ). - Pedido: calcular o trabalho realizado por
ao longo dessa trajetória.
Passo 2
Conceito que vamos usar (explicação didática): o trabalho realizado por uma força variável ao longo de uma trajetória é dado pelo integral de linha do produto escalar entre a força e o deslocamento infinitesimal:
Aqui:
-
é a força em cada ponto. -
é o vetor deslocamento infinitesimal ao longo da curva . - O produto escalar
pega apenas as componentes que “contribuem” ao longo do deslocamento. Se e , então .
Passo 3
Parametrização da trajetória (maneira prática): como a curva é a reta
indo de
até
, podemos usar
como parâmetro. Então:
Em termos de
e
temos:
Também podemos manter
como variável de integração e escrever
.
Passo 4
Escrever
e o produto escalar: como
(não há componente na direção
),
portanto
Isso simplifica muito: só precisamos integrar
em relação a
ao longo do intervalo de
de
a
.
Passo 5
Substituir a relação da reta
no integrando e montar o integral:
logo
O trabalho é
Passo 6
Calcular o integral passo a passo (mostrando como fazer sem calculadora):
A primitiva de
é
, então
Substituindo,
Verificação de unidades (importante na prova):
tem unidade
e
tem unidade
, então
tem unidade
, como esperado.
Passo 7
Substituir o valor numérico de
e obter o trabalho numérico final: